Góc ở vị trí đặc biệt. Tia phân giác của một góc — Các dạng bài và ví dụ

Lời giải:

a) \(\widehat{xOy} + \widehat{yOx'} = 180^\circ\) (kề bù).

Bài toán tổng – hiệu (Hình 8):

\(\widehat{xOy} = (180^\circ + 30^\circ) : 2 = 105^\circ\)

\(\widehat{yOx'} = 180^\circ - 105^\circ = 75^\circ\).

Kiểm tra lại: \(105^\circ + 75^\circ = 180^\circ\)

\(105^\circ - 75^\circ = 30^\circ\) ✓.

b) Đặt \(\widehat{yOx'} = a\).

Khi đó \(\widehat{xOy} = 3a - 20^\circ\).

\(a + 3a - 20^\circ = 180^\circ\) (kề bù), nên \(4a = 200^\circ\)

\(a = 50^\circ\).

Vậy \(\widehat{yOx'} = 50^\circ\)

\(\widehat{xOy} = 3 \cdot 50^\circ - 20^\circ = 130^\circ\).

Kiểm tra lại: \(130^\circ + 50^\circ = 180^\circ\) ✓.

c) Hai góc kề nhau nên A, C nằm khác phía đối với đường thẳng OB.

Ba điểm A, O, C thẳng hàng khi \(\widehat{AOB} + \widehat{BOC} = 180^\circ\) (dùng ngược tính chất kề bù):

\((2x + 20^\circ) + (3x - 40^\circ) = 180^\circ\)

Nên \(5x - 20^\circ = 180^\circ\)

\(5x = 200^\circ\)

\(x = 40^\circ\).

Kiểm tra lại: \(\widehat{AOB} = 100^\circ\)

\(\widehat{BOC} = 80^\circ\)

Tổng \(180^\circ\) ✓.

d) Tổng do đề cho là \(150^\circ\) (kề nhau, không phải kề bù):

\(\widehat{AOB} = (150^\circ + 50^\circ) : 2 = 100^\circ\)

\(\widehat{BOC} = 150^\circ - 100^\circ = 50^\circ\).

Kiểm tra lại: \(100^\circ - 50^\circ = 50^\circ\) ✓.

Đáp số: a) \(105^\circ\), \(75^\circ\); b) \(130^\circ\), \(50^\circ\); c) \(x = 40\); d) \(100^\circ\), \(50^\circ\)

Lời giải:

a) \(\widehat{AOC} + \widehat{AOD} = 180^\circ\) (kề bù, vì OC, OD đối nhau).

\(\widehat{AOC} = (180^\circ + 40^\circ) : 2 = 110^\circ\)

\(\widehat{AOD} = 180^\circ - 110^\circ = 70^\circ\).

\(\widehat{BOD} = \widehat{AOC} = 110^\circ\) (đối đỉnh)

\(\widehat{BOC} = \widehat{AOD} = 70^\circ\) (đối đỉnh).

Kiểm tra lại: \(110^\circ + 70^\circ = 180^\circ\) ✓.

b) \(\widehat{BOD} = \widehat{AOC} = 35^\circ\) (đối đỉnh: OB, OD là tia đối của OA, OC).

\(\widehat{DOF} = \widehat{COE} = 75^\circ\) (đối đỉnh).

\(\widehat{AOE} = 35^\circ + 75^\circ = 110^\circ\) (tia OC nằm giữa hai tia OA, OE), nên \(\widehat{BOF} = \widehat{AOE} = 110^\circ\) (đối đỉnh).

Kiểm tra lại: \(\widehat{BOD} + \widehat{DOF} = 35^\circ + 75^\circ = 110^\circ = \widehat{BOF}\) ✓.

c) \(\widehat{COB} = 70^\circ - 30^\circ = 40^\circ\) (tia OC nằm giữa hai tia OA, OB, vì C nằm trong góc AOB).

\(\widehat{EOC} = 180^\circ - 40^\circ = 140^\circ\) (kề bù với \(\widehat{DOE}\), vì OD, OC đối nhau).

Tia OC nằm giữa OA, OB nên A, B nằm khác phía đối với đường thẳng CD.

E nằm trong góc AOD nên E cùng phía với A.

Vậy E, B nằm khác phía đối với đường thẳng CD.

Hai góc EOC và COB kề nhau, có tổng \(140^\circ + 40^\circ = 180^\circ\)

Nên OE là tia đối của tia OB (dùng ngược tính chất kề bù).

Góc DOE có hai cạnh OD, OE lần lượt là tia đối của OC, OB, nên \(\widehat{DOE}\) đối đỉnh với \(\widehat{COB}\).

Kiểm tra lại: \(\widehat{DOE} = \widehat{COB} = 40^\circ\) ✓.

Đáp số: a) \(110^\circ\); \(70^\circ\); \(110^\circ\); \(70^\circ\). b) \(35^\circ\); \(75^\circ\); \(110^\circ\). c) \(\widehat{COB}\)

Lời giải:

a) \(n\) đường thẳng tạo \(n(n - 1)\) cặp (bài Lý thuyết trọng tâm, Hình 5): \(5 \cdot 4 = 20\) cặp.

b) \(n(n - 1) = 30\)

Tìm hai số tự nhiên liên tiếp có tích bằng 30.

Thử: \(4 \cdot 5 = 20\)

\(5 \cdot 6 = 30\) ✓.

Vậy \(n = 6\).

Kiểm tra lại: \(6 \cdot 5 = 30\) ✓.

Đáp số: a) 20 cặp; b) 6 đường thẳng

Lời giải:

\(\widehat{xOz} = \widehat{xOy} + \widehat{yOz} = 30^\circ + 70^\circ = 100^\circ\) (tia Oy nằm giữa hai tia Ox, Oz).

\(\widehat{xOm} = \dfrac{\widehat{xOz}}{2} = 50^\circ\) (Om là tia phân giác của \(\widehat{xOz}\)).

Hai tia Oy, Om cùng nằm trên một nửa mặt phẳng bờ chứa Ox và \(30^\circ < 50^\circ\), nên tia Oy nằm giữa hai tia Ox, Om (Hình 9).

\(\widehat{yOm} = \widehat{xOm} - \widehat{xOy} = 50^\circ - 30^\circ = 20^\circ\).

Kiểm tra lại: \(\widehat{xOy} + \widehat{yOm} = 30^\circ + 20^\circ = 50^\circ = \widehat{xOm}\) ✓.

Đáp số: \(\widehat{xOm} = 50^\circ\), \(\widehat{yOm} = 20^\circ\)

Lời giải:

\(\widehat{xOt} = 110^\circ : 2 = 55^\circ\) (Ot là tia phân giác của \(\widehat{xOy}\)).

\(\widehat{x'Ot} = 180^\circ - 55^\circ = 125^\circ\) (kề bù với \(\widehat{xOt}\): chung cạnh Ot, hai cạnh Ox, Ox' đối nhau).

\(\widehat{x'Oy} = 180^\circ - 110^\circ = 70^\circ\) (kề bù với \(\widehat{xOy}\)).

Kiểm tra lại: \(\widehat{x'Oy} + \widehat{yOt} = 70^\circ + 55^\circ = 125^\circ = \widehat{x'Ot}\) ✓.

Đáp số: \(55^\circ\); \(125^\circ\); \(70^\circ\)

Lời giải:

a) Hai góc đo từ hai mốc khác nhau (OA và OB), nên đổi về cùng mốc OA:

\(\widehat{AOD} = 180^\circ - \widehat{BOD} = 180^\circ - 80^\circ = 100^\circ\) (kề bù, vì OA, OB đối nhau).

OC, OD cùng nằm trên một nửa mặt phẳng bờ AB và \(40^\circ < 100^\circ\), nên tia OC nằm giữa hai tia OA, OD (Hình 10):

\(\widehat{COD} = 100^\circ - 40^\circ = 60^\circ\).

Kiểm tra lại: \(\widehat{AOC} + \widehat{COD} + \widehat{DOB}\)

\(= 40^\circ + 60^\circ + 80^\circ = 180^\circ\) ✓.

b) \(\widehat{AOD} = 180^\circ - 100^\circ = 80^\circ\) (kề bù).

Lần này \(80^\circ < 120^\circ\)

Nên tia OD nằm giữa hai tia OA, OC:

\(\widehat{COD} = 120^\circ - 80^\circ = 40^\circ\).

Kiểm tra lại: \(\widehat{COB} = 180^\circ - 120^\circ = 60^\circ\)

\(80^\circ + 40^\circ + 60^\circ = 180^\circ\) ✓.

Đáp số: a) \(100^\circ\); \(60^\circ\). b) \(40^\circ\)

Lời giải:

Góc tOh có hai cạnh Ot, Oh lần lượt là tia đối của Ox, Oz, nên \(\widehat{tOh}\) đối đỉnh với \(\widehat{xOz}\).

Do đó \(\widehat{tOh} = \widehat{xOz} = \dfrac{\widehat{xOy}}{2}\) (Hình 11).

a) \(\widehat{tOh} = 120^\circ : 2 = 60^\circ\).

b) \(\widehat{xOy} = 2 \cdot 35^\circ = 70^\circ\).

c) Coi \(\widehat{tOh}\) là 1 phần thì \(\widehat{xOy}\) là 2 phần

Tổng 3 phần là \(150^\circ\).

1 phần \(= 150^\circ : 3 = 50^\circ\)

\(\widehat{tOh} = 50^\circ\)

\(\widehat{xOy} = 100^\circ\).

Kiểm tra lại: \(100^\circ + 50^\circ = 150^\circ\) và \(100^\circ : 2 = 50^\circ\) ✓.

Đáp số: a) \(60^\circ\); b) \(70^\circ\); c) \(100^\circ\) và \(50^\circ\)

Lời giải:

\(\widehat{xOm} = 80^\circ : 2 = 40^\circ\) (Om là tia phân giác của \(\widehat{xOy}\)).

Ox là tia phân giác của \(\widehat{mOn}\) nên \(\widehat{xOn} = \widehat{xOm} = 40^\circ\) và Ox nằm giữa Om, On: tia On nằm ở phía bên kia đường thẳng chứa tia Ox, khác phía với Om và Oy.

Oy, On nằm khác phía đối với đường thẳng chứa Ox và \(80^\circ + 40^\circ = 120^\circ < 180^\circ\), nên tia Ox nằm giữa hai tia Oy, On:

\(\widehat{yOn} = \widehat{yOx} + \widehat{xOn} = 80^\circ + 40^\circ = 120^\circ\).

Đáp số: \(\widehat{yOn} = 120^\circ\)

Lời giải:

Tia Ot nằm giữa hai tia Ox, Oy (giả thiết), nên \(\widehat{xOt} + \widehat{tOy} = \widehat{xOy}\)

Suy ra \(\widehat{tOy} = 140^\circ - 70^\circ = 70^\circ\).

Vậy \(\widehat{xOt} = \widehat{tOy} = 70^\circ\) và tia Ot nằm giữa hai tia Ox, Oy, nên Ot là tia phân giác của \(\widehat{xOy}\).

Kiểm tra lại: \(70^\circ + 70^\circ = 140^\circ\) ✓.

Kết luận: Ot là tia phân giác của \(\widehat{xOy}\)

Lời giải:

Om, Oy cùng một nửa mặt phẳng bờ chứa Ox và \(35^\circ < 105^\circ\), nên tia Om nằm giữa hai tia Ox, Oy: \(\widehat{mOy} = 105^\circ - 35^\circ = 70^\circ\).

\(\widehat{mOn} = 70^\circ : 2 = 35^\circ\) (On là tia phân giác của \(\widehat{mOy}\)).

Tia On nằm giữa Om, Oy nên nằm cùng nửa mặt phẳng với chúng, và \(\widehat{xOn} = \widehat{xOm} + \widehat{mOn} = 35^\circ + 35^\circ = 70^\circ\).

Om, On cùng một nửa mặt phẳng bờ chứa Ox và \(35^\circ < 70^\circ\), nên tia Om nằm giữa hai tia Ox, On

Lại có \(\widehat{xOm} = \widehat{mOn} = 35^\circ\).

Kết luận: Om là tia phân giác của \(\widehat{xOn}\)

Lời giải:

a) \(\widehat{xOA} = \widehat{xOB} = 130^\circ : 2 = 65^\circ\) (Ox là tia phân giác của \(\widehat{AOB}\)).

\(\widehat{AOy} = 180^\circ - 65^\circ = 115^\circ\)

\(\widehat{BOy} = 180^\circ - 65^\circ = 115^\circ\) (kề bù, vì Ox, Oy đối nhau).

OC, Oy cùng nằm trên nửa mặt phẳng bờ chứa OA (phía ngoài góc) và \(\widehat{AOC} = 90^\circ < 115^\circ\), nên tia OC nằm giữa OA, Oy: \(\widehat{yOC} = 115^\circ - 90^\circ = 25^\circ\).

Tương tự, tia OD nằm giữa OB, Oy: \(\widehat{yOD} = 115^\circ - 90^\circ = 25^\circ\).

C cùng phía với A, D cùng phía với B đối với đường thẳng xy, mà A, B khác phía (Ox nằm giữa OA, OB).

Vậy OC, OD khác phía đối với đường thẳng xy, và \(25^\circ + 25^\circ < 180^\circ\), nên tia Oy nằm giữa OC, OD.

Lại có \(\widehat{yOC} = \widehat{yOD} = 25^\circ\)

Nên Oy là tia phân giác của \(\widehat{COD}\) (Hình 12).

b) \(\widehat{xOC} = 180^\circ - \widehat{COy} = 180^\circ - 25^\circ = 155^\circ\) (kề bù, vì Ox, Oy đối nhau).

Kiểm tra lại: \(\widehat{xOA} + \widehat{AOC} = 65^\circ + 90^\circ = 155^\circ\) ✓.

Kết luận: a) Oy là tia phân giác của \(\widehat{COD}\); b) \(\widehat{xOC} = 155^\circ\)

Lời giải:

\(\widehat{AOC} = 100^\circ + 50^\circ = 150^\circ\) (tia OB nằm giữa OA, OC).

D nằm trong góc AOC nên tia OD nằm giữa OA, OC: \(\widehat{AOD} = 150^\circ - 90^\circ = 60^\circ\).

OB, OD cùng nửa mặt phẳng bờ chứa OC và \(50^\circ < 90^\circ\), nên tia OB nằm giữa OC, OD: \(\widehat{BOD} = 90^\circ - 50^\circ = 40^\circ\).

\(\widehat{AOD} = 60^\circ \ne 40^\circ = \widehat{BOD}\).

Kiểm tra lại: \(\widehat{AOD} + \widehat{DOB} = 60^\circ + 40^\circ = 100^\circ = \widehat{AOB}\) ✓.

Kết luận: Không: OD tạo với OA, OB hai góc \(60^\circ\) và \(40^\circ\)

Lời giải:

\(\widehat{AOB}\) và \(\widehat{BOC}\) kề nhau nên A, C nằm khác phía đối với đường thẳng OB.

\(\widehat{AOB} + \widehat{BOC} = 108^\circ + 72^\circ = 180^\circ\)

Nên OA, OC là hai tia đối nhau (dùng ngược tính chất kề bù).

Vậy A, O, C thẳng hàng.

Kết luận: \(\widehat{AOC} = 180^\circ\), ba điểm A, O, C thẳng hàng

Lời giải:

\(\widehat{BOC}\) kề bù với \(\widehat{AOB}\) (chung cạnh OB), nên OC là tia đối của tia OA.

\(\widehat{AOD}\) kề bù với \(\widehat{AOB}\) (chung cạnh OA), nên OD là tia đối của tia OB.

Góc BOC có hai cạnh OB, OC

Góc AOD có hai cạnh OD, OA, lần lượt là tia đối của OB, OC.

Vậy \(\widehat{BOC}\) và \(\widehat{AOD}\) đối đỉnh.

\(\widehat{BOC} = \widehat{AOD} = 180^\circ - 120^\circ = 60^\circ\) (kề bù).

Kiểm tra lại: \(60^\circ + 120^\circ = 180^\circ\) ✓.

Kết luận: Hai góc đối đỉnh, cùng bằng \(60^\circ\)

Lời giải:

\(\widehat{yOx'} = 180^\circ - 60^\circ = 120^\circ\) (kề bù).

\(\widehat{mOy} = 60^\circ : 2 = 30^\circ\) (Om là tia phân giác của \(\widehat{xOy}\))

\(\widehat{yOn} = 120^\circ : 2 = 60^\circ\) (On là tia phân giác của \(\widehat{yOx'}\)).

Tia Oy nằm giữa hai tia Om, On (Om thuộc góc xOy, On thuộc góc yOx'): \(\widehat{mOn} = 30^\circ + 60^\circ = 90^\circ\).

Kiểm tra lại: \(\widehat{xOm} + \widehat{mOn} + \widehat{nOx'}\)

\(= 30^\circ + 90^\circ + 60^\circ = 180^\circ\) ✓.

Đáp số: \(\widehat{mOn} = 90^\circ\), tức Om ⊥ On

Lời giải:

\(\widehat{mOn} = 90^\circ\) (phân giác của hai góc kề bù, Ví dụ 6), nên \(\widehat{mOt} = 45^\circ\) (Ot là tia phân giác của \(\widehat{mOn}\)).

\(\widehat{mOy} = 50^\circ : 2 = 25^\circ\) (Om là tia phân giác của \(\widehat{xOy}\)).

Oy, Ot cùng nằm trong góc mOn (cùng nửa mặt phẳng bờ chứa Om) và \(25^\circ < 45^\circ\), nên tia Oy nằm giữa hai tia Om, Ot:

\(\widehat{yOt} = 45^\circ - 25^\circ = 20^\circ\).

Kiểm tra lại: \(\widehat{yOn} = 130^\circ : 2 = 65^\circ\)

\(\widehat{yOt} + \widehat{tOn} = 20^\circ + 45^\circ = 65^\circ\) ✓.

Đáp số: \(\widehat{yOt} = 20^\circ\)