HomeStudyTrước khi bắt đầu
Bài mở đầu Chương III (Góc và đường thẳng song song). Em học những cặp góc có vị trí đặc biệt và tia chia đôi một góc. Đây là "bộ công cụ lý do" dùng trong mọi bài hình lớp 7: mỗi bước tính góc đều phải nêu được vì sao. Sau bài này em làm được 5 việc:
- Nhận biết và tính hai góc kề bù, hai góc đối đỉnh; dùng kề bù để chứng minh ba điểm thẳng hàng.
- Tính các góc tạo bởi hai đường thẳng cắt nhau, hai đường thẳng vuông góc; đếm số cặp góc đối đỉnh.
- Vẽ tia phân giác và tính góc khi có tia phân giác.
- Chứng minh một tia là tia phân giác của một góc.
- Trình bày lời giải theo đúng chuẩn chấm: mỗi bước một lý do trong ngoặc.
Các dạng bài luyện ở bài "Các dạng bài và ví dụ". Nhãn: Lớp 7 là kiến thức trong sách; Nâng cao là mở rộng ngoài sách, hay gặp trong đề trường chuyên.
Nhớ lại các bài trước
1. Tia đối, góc bẹt Lớp 6 · Ch.VIII
Điểm O trên đường thẳng xy chia nó thành hai tia Ox, Oy đối nhau; góc xOy khi đó là góc bẹt, bằng \(180^\circ\). Ngược lại, muốn chứng minh hai tia OM, ON đối nhau (ba điểm M, O, N thẳng hàng) thì chứng minh \(\widehat{MON} = 180^\circ\).
2. Điểm nằm trong góc, cộng góc Lớp 6 · Ch.VIII
Nếu điểm M nằm trong góc xOy thì tia OM nằm giữa hai tia Ox, Oy và \(\widehat{xOM} + \widehat{MOy} = \widehat{xOy}\). Đây là lý do cho mọi phép cộng, trừ góc.
1Hai góc kề bù Lớp 7
Định nghĩa và tính chất
Hai góc kề bù là hai góc có:
- Cạnh chung: chung đỉnh và chung một cạnh;
- Hai cạnh còn lại: là hai tia đối nhau.
Phân biệt hai chữ "kề" và "bù"
- Kề nhau (nói về vị trí): chung một cạnh, hai cạnh còn lại nằm ở hai phía của đường thẳng chứa cạnh chung.
- Bù nhau (chỉ nói về số đo): tổng số đo bằng \(180^\circ\), không cần đứng cạnh nhau.
Tính chất
Hai góc kề bù có tổng số đo bằng \(180^\circ\).
\(\widehat{xOy} + \widehat{yOx'} = 180^\circ\)
Ox, Ox' là hai tia đối nhau; Oy là cạnh chung
Kề bù: hiểu \(130^\circ + 50^\circ = 180^\circ\) từng bước
- Bước 1
Đọc đúng ý nghĩa. Ox, Ox' là hai tia đối nhau, nên \(\widehat{xOx'}\) là góc bẹt, bằng \(180^\circ\) (đã học ở lớp 6).
- Bước 2
Mở ra. Tia Oy (khác Ox, Ox') nằm giữa hai tia Ox, Ox', nên cắt góc bẹt thành hai góc \(\widehat{xOy}\) và \(\widehat{yOx'}\).
- Bước 3
Gom lại. Theo cộng góc: \(\widehat{xOy} + \widehat{yOx'} = \widehat{xOx'} = 180^\circ\).
Tia Oy quay tới đâu thì góc bẹt chỉ bị chia khác đi, tổng vẫn là \(180^\circ\) (Hình 1).
- Bước 4
Thử bằng số. \(130^\circ + 50^\circ = 180^\circ\)
\(40^\circ + 140^\circ = 180^\circ\)
\(90^\circ + 90^\circ = 180^\circ\) ✓.
Ví dụ tự kiểm tra: góc kề bù với góc \(72^\circ\) bằng \(180^\circ - 72^\circ = 108^\circ\). Nhận xét: trong hai góc kề bù, nếu một góc nhọn thì góc kia tù; nếu một góc vuông thì góc kia cũng vuông.
Hai góc \(100^\circ\) và \(80^\circ\) bù nhau, nên chúng kề bù.
Bù nhau chỉ nói về số đo. Kề bù cần thêm vị trí: chung một cạnh, hai cạnh còn lại đối nhau. Kề bù thì bù nhau, nhưng bù nhau chưa chắc kề bù.
Dùng ngược: chứng minh ba điểm thẳng hàng
Nếu hai góc AOB và BOC:
- Kề nhau: chung cạnh OB, A và C nằm khác phía đối với đường thẳng OB;
- Có tổng \(\widehat{AOB} + \widehat{BOC} = 180^\circ\),
thì OA, OC là hai tia đối nhau, tức ba điểm A, O, C thẳng hàng.
Vì sao?
Vẽ tia OC' là tia đối của tia OA. Khi đó \(\widehat{AOB}\) và \(\widehat{BOC'}\) kề bù, nên \(\widehat{BOC'} = 180^\circ - \widehat{AOB} = \widehat{BOC}\). Hai tia OC, OC' cùng nằm trên nửa mặt phẳng bờ OB không chứa A và tạo với OB hai góc bằng nhau, nên chúng trùng nhau. Vậy OC là tia đối của tia OA.
\(\widehat{AOB} + \widehat{BOC} = 180^\circ\)
\(\Rightarrow\; \text{A, O, C thẳng hàng}\)
Chỉ dùng được khi A và C nằm khác phía đối với đường thẳng OB
\(\widehat{AOB} = 110^\circ\), \(\widehat{BOC} = 70^\circ\), tổng bằng \(180^\circ\) nên A, O, C thẳng hàng.
Phải nêu thêm: A và C nằm khác phía đối với đường thẳng OB (hai góc kề nhau). Nếu A, C cùng phía thì tia OC nằm trong góc AOB và \(\widehat{AOC} = 110^\circ - 70^\circ = 40^\circ\): không thẳng hàng (Hình 2).
Ghi nhớ
KỀ BÙ = CHUNG 1 CẠNH + 2 CẠNH ĐỐI NHAU → TỔNG 180° · DÙNG NGƯỢC: KỀ NHAU + TỔNG 180° → THẲNG HÀNG
2Hai góc đối đỉnh Lớp 7
Định nghĩa và tính chất
Hai góc đối đỉnh là hai góc:
- Chung đỉnh;
- Mỗi cạnh của góc này là tia đối của một cạnh của góc kia.
Hai đường thẳng xx', yy' cắt nhau tại O tạo hai cặp góc đối đỉnh: \(\widehat{xOy}\) và \(\widehat{x'Oy'}\); \(\widehat{x'Oy}\) và \(\widehat{xOy'}\).
Tính chất
Hai góc đối đỉnh thì bằng nhau.
\(\widehat{xOy} = \widehat{x'Oy'}\)
\(\widehat{x'Oy} = \widehat{xOy'}\)
xx' cắt yy' tại O
Vì sao hai góc đối đỉnh bằng nhau: hiểu từng bước
- Bước 1
Đặt tên. Hai đường thẳng xx', yy' cắt nhau tại O
Gọi \(\widehat{O_1} = \widehat{xOy}\)
\(\widehat{O_2} = \widehat{yOx'}\)
\(\widehat{O_3} = \widehat{x'Oy'}\)
\(\widehat{O_4} = \widehat{y'Ox}\) (Hình 3).
- Bước 2
Tìm cặp kề bù. \(\widehat{O_1} + \widehat{O_2} = 180^\circ\) (kề bù, vì Ox, Ox' đối nhau).
\(\widehat{O_3} + \widehat{O_2} = 180^\circ\) (kề bù, vì Oy, Oy' đối nhau).
- Bước 3
So sánh. \(\widehat{O_1}\) và \(\widehat{O_3}\) cùng cộng với \(\widehat{O_2}\) được \(180^\circ\), nên \(\widehat{O_1} = \widehat{O_3}\).
Làm tương tự với \(\widehat{O_1}\)
\(\widehat{O_2} = \widehat{O_4}\).
- Bước 4
Thử bằng số. \(\widehat{O_1} = 40^\circ\) thì \(\widehat{O_2} = 140^\circ\)
\(\widehat{O_3} = 180^\circ - 140^\circ = 40^\circ\)
\(\widehat{O_4} = 180^\circ - 40^\circ = 140^\circ\) ✓.
Ví dụ tự kiểm tra: hai đường thẳng cắt nhau, một góc bằng \(72^\circ\). Bốn góc là \(72^\circ\), \(108^\circ\), \(72^\circ\), \(108^\circ\) (kề bù rồi đối đỉnh).
Hai đường thẳng vuông góc
Hai đường thẳng xx', yy' cắt nhau và trong các góc tạo thành có một góc vuông thì gọi là hai đường thẳng vuông góc, kí hiệu \(xx' \perp yy'\).
Vì sao cả bốn góc đều vuông?
- Kề bù: \(\widehat{xOy} = 90^\circ\) nên \(\widehat{yOx'} = 180^\circ - 90^\circ = 90^\circ\).
- Đối đỉnh: \(\widehat{x'Oy'} = \widehat{xOy} = 90^\circ\), \(\widehat{xOy'} = \widehat{x'Oy} = 90^\circ\).
Đếm số cặp góc đối đỉnh Nâng cao
\(n\) đường thẳng phân biệt (\(n \ge 2\)) cùng đi qua một điểm O tạo thành \(n(n - 1)\) cặp góc đối đỉnh (không kể góc bẹt).
- Bước 1
Đếm tia. Mỗi đường thẳng cho 2 tia gốc O: có \(2n\) tia.
- Bước 2
Đếm góc. Mỗi tia tạo một góc (không bẹt) với mọi tia khác, trừ chính nó và tia đối của nó: \(2n - 2\) góc.
Mỗi góc được đếm hai lần (một lần ở mỗi cạnh), nên có \(2n(2n - 2) : 2 = 2n(n - 1)\) góc.
- Bước 3
Ghép đôi. Mỗi góc có đúng một góc đối đỉnh với nó (lấy tia đối của cả hai cạnh), nên các góc ghép thành \(2n(n - 1) : 2 = n(n - 1)\) cặp.
- Bước 4
Thử lại. \(n = 2\)
\(2 \cdot 1 = 2\) cặp (Hình 3) ✓.
\(n = 3\)
6 tia, \(6 \cdot 4 : 2 = 12\) góc, \(3 \cdot 2 = 6\) cặp (Hình 5) ✓.
Hai góc bằng nhau và chung đỉnh thì đối đỉnh.
Đối đỉnh cần mỗi cạnh của góc này là tia đối của một cạnh góc kia. Ví dụ hai góc kề nhau \(\widehat{xOy} = \widehat{yOz} = 50^\circ\) chung đỉnh, bằng nhau nhưng không đối đỉnh. Đối đỉnh thì bằng nhau, nhưng bằng nhau chưa chắc đối đỉnh.
Ghi nhớ
ĐỐI ĐỈNH → BẰNG NHAU · BẰNG NHAU CHƯA CHẮC ĐỐI ĐỈNH · 1 GÓC VUÔNG → CẢ 4 GÓC VUÔNG
3Tia phân giác của một góc Lớp 7
Định nghĩa và tính chất
Tia phân giác của một góc là tia:
- Vị trí: nằm giữa hai cạnh của góc;
- Số đo: tạo với hai cạnh ấy hai góc bằng nhau.
Tính chất
Nếu Oz là tia phân giác của \(\widehat{xOy}\) thì mỗi góc bằng một nửa góc xOy (Hình 6).
\(\widehat{xOz} = \widehat{zOy} = \dfrac{\widehat{xOy}}{2}\)
Oz là tia phân giác của góc xOy
Chú ý
- Mỗi góc không phải góc bẹt có đúng một tia phân giác.
- Đường thẳng chứa tia phân giác của một góc gọi là đường phân giác của góc đó.
Cách chứng minh một tia là tia phân giác
Muốn chứng minh Oz là tia phân giác của \(\widehat{xOy}\), chứng minh đủ hai điều: (1) tia Oz nằm giữa hai tia Ox, Oy; (2) \(\widehat{xOz} = \widehat{zOy}\).
Vẽ tia phân giác của \(\widehat{xOy} = 80^\circ\)
- Cách 1
Dùng thước đo góc. Đo được \(\widehat{xOy} = 80^\circ\)
Chia đôi: \(80^\circ : 2 = 40^\circ\).
Trên nửa mặt phẳng bờ chứa tia Ox có chứa tia Oy, vẽ tia Oz sao cho \(\widehat{xOz} = 40^\circ\).
- Cách 2
Gấp giấy. Vẽ góc xOy lên tờ giấy, gấp sao cho cạnh Ox trùng khít cạnh Oy.
Nếp gấp là tia phân giác: hai nửa trùng nhau nên hai góc bằng nhau (Hình 6).
Ví dụ tự kiểm tra:
- Tính thuận: Oz là tia phân giác của \(\widehat{xOy} = 130^\circ\) thì \(\widehat{xOz} = 130^\circ : 2 = 65^\circ\).
- Tính ngược: Oz là tia phân giác của \(\widehat{xOy}\) và \(\widehat{xOz} = 35^\circ\) thì \(\widehat{xOy} = 2 \cdot 35^\circ = 70^\circ\).
Vì sao cần điều kiện "nằm giữa"? Tia Oz' đối với tia phân giác Oz cũng tạo với Ox, Oy hai góc bằng nhau (cùng \(140^\circ\)), nhưng nó nằm ngoài góc xOy, nên không phải tia phân giác (Hình 7).
\(\widehat{xOz} = \widehat{zOy}\) nên Oz là tia phân giác của \(\widehat{xOy}\).
Phải nêu thêm: tia Oz nằm giữa hai tia Ox, Oy (và nói rõ vì sao, ví dụ \(\widehat{xOz} < \widehat{xOy}\) và hai tia Oz, Oy cùng nằm trên một nửa mặt phẳng bờ chứa Ox).
Ghi nhớ
PHÂN GIÁC = NẰM GIỮA + CHIA ĐÔI · MỖI GÓC NHỎ = NỬA GÓC LỚN
🎯 Chuẩn trình bày của trường chuyên Trần Đại Nghĩa
Đề HK1 của trường thường có một bài hình (khoảng 2,5 điểm) chấm theo lý do: mỗi bước tính góc phải ghi lý do trong ngoặc như "(kề bù)", "(đối đỉnh)", "(Oz là tia phân giác của \(\widehat{xOy}\))", "(tia Oy nằm giữa hai tia Ox, Oz)". Phải vẽ lại hình vào giấy làm bài. Ở các bài đường thẳng song song (Bài 9, 10), không được dùng định lí tổng ba góc của tam giác.
Tổng kết
Sáu điều cần nhớ
- Kề bù: chung một cạnh, hai cạnh còn lại đối nhau; tổng \(180^\circ\).
- Dùng ngược: hai góc kề nhau (hai cạnh khác phía) có tổng \(180^\circ\) thì hai cạnh còn lại đối nhau, ba điểm thẳng hàng.
- Đối đỉnh: mỗi cạnh góc này là tia đối của một cạnh góc kia; hai góc đối đỉnh bằng nhau.
- Hai đường thẳng cắt nhau có một góc vuông thì vuông góc, cả bốn góc đều vuông.
- \(n\) đường thẳng qua một điểm: \(n(n - 1)\) cặp góc đối đỉnh (Nâng cao).
- Tia phân giác: nằm giữa và chia thành hai góc bằng nhau; mỗi góc bằng nửa góc ban đầu; mỗi góc không bẹt có đúng một tia phân giác.
Tia phân giác của góc bẹt là gì?
Góc bẹt \(180^\circ\) có tia phân giác tạo với hai cạnh hai góc \(90^\circ\): tia đó vuông góc với đường thẳng chứa góc bẹt. Góc bẹt có hai tia như thế (mỗi nửa mặt phẳng một tia), khác với góc không bẹt chỉ có đúng một tia phân giác. Vì vậy đề thường nói rõ "trên nửa mặt phẳng …".
Làm sao biết một tia nằm giữa hai tia khác?
Cách hay dùng nhất: hai tia Oy, Oz cùng nằm trên một nửa mặt phẳng bờ chứa tia Ox và \(\widehat{xOy} < \widehat{xOz}\) thì tia Oy nằm giữa hai tia Ox, Oz. Đề cũng hay cho sẵn "điểm M nằm trong góc".
Hai góc kề nhau có luôn bù nhau không?
Không. Hai góc kề nhau chỉ cần chung một cạnh và nằm hai phía của cạnh chung; tổng của chúng có thể là bất kì số nào nhỏ hơn \(360^\circ\). Chỉ khi hai cạnh còn lại đối nhau (kề bù) thì tổng mới đúng bằng \(180^\circ\).