HomeStudyTrước khi bắt đầu
Khi một đường thẳng cắt hai đường thẳng, nó tạo ra 8 góc. Bài này dạy em gọi tên các cặp góc đặc biệt trong 8 góc đó và dùng chúng để nhận biết hai đường thẳng song song. Sau bài này em làm được 5 việc:
- Chỉ ra các cặp góc so le trong, đồng vị, trong cùng phía và đếm được số cặp mỗi loại.
- Biết một cặp so le trong bằng nhau thì tính được cả 7 góc còn lại.
- Chứng minh hai đường thẳng song song bằng dấu hiệu so le trong hoặc đồng vị.
- Dùng nhận xét "cùng vuông góc với một đường thẳng thì song song".
- Vẽ đường thẳng đi qua một điểm và song song với một đường thẳng cho trước bằng ê ke.
Bài có tia phân giác và bài tìm số đo để hai đường thẳng song song luyện ở bài "Các dạng bài và ví dụ" (Dạng 5, Dạng 6). Nhãn: Lớp 7 là kiến thức trong sách; Nâng cao là mở rộng ngoài sách, hay gặp trong đề trường chuyên.
Nhớ lại các bài trước
1. Hai đường thẳng song song Lớp 6 · Ch.VIII
Hai đường thẳng song song là hai đường thẳng (trong cùng một mặt phẳng) không có điểm chung. Hai đường thẳng phân biệt thì hoặc cắt nhau, hoặc song song. Vì không thể kéo dài mãi để kiểm tra, bài này cho em một cách nhận biết bằng góc.
2. Kề bù, đối đỉnh, bù nhau Lớp 7 · Bài 8
- Hai góc kề bù có tổng \(180^\circ\).
- Hai góc đối đỉnh thì bằng nhau.
- Hai góc bù nhau là hai góc có tổng số đo bằng \(180^\circ\) (không cần đứng cạnh nhau).
Kề bù và đối đỉnh là hai lý do giúp "đổi" một góc thành góc khác ở cùng một đỉnh.
1Các góc tạo bởi một đường thẳng cắt hai đường thẳng Lớp 7
Ba loại cặp góc
Đường thẳng c cắt hai đường thẳng phân biệt a, b lần lượt tại A, B. Khi đó có bốn góc đỉnh A và bốn góc đỉnh B. Đường thẳng c gọi là cát tuyến.
Cách đánh số
Ở mỗi đỉnh: góc 1 ở dưới – bên phải, góc 2 ở trên – bên phải, góc 3 ở trên – bên trái, góc 4 ở dưới – bên trái (Hình 1).
Miền trong
- Miền trong là phần mặt phẳng nằm giữa a và b.
- Bốn góc trong: \(\widehat{A_1}\), \(\widehat{A_4}\), \(\widehat{B_2}\), \(\widehat{B_3}\).
- Bốn góc ngoài: \(\widehat{A_2}\), \(\widehat{A_3}\), \(\widehat{B_1}\), \(\widehat{B_4}\).
Ba loại cặp góc
Mỗi cặp gồm một góc đỉnh A và một góc đỉnh B.
| Loại cặp góc | Vị trí | Các cặp | Số cặp |
|---|---|---|---|
| So le trong | Cả hai ở miền trong, ở hai phía của c | \(\widehat{A_1}\) và \(\widehat{B_3}\); \(\widehat{A_4}\) và \(\widehat{B_2}\) | 2 |
| Đồng vị | Cùng vị trí ở hai đỉnh (cùng số) | \(\widehat{A_1}\) và \(\widehat{B_1}\); \(\widehat{A_2}\) và \(\widehat{B_2}\); \(\widehat{A_3}\) và \(\widehat{B_3}\); \(\widehat{A_4}\) và \(\widehat{B_4}\) | 4 |
| Trong cùng phía | Cả hai ở miền trong, ở cùng một phía của c | \(\widehat{A_1}\) và \(\widehat{B_2}\); \(\widehat{A_4}\) và \(\widehat{B_3}\) | 2 |
Mẹo nhìn hình: tô theo hai cạnh của hai góc, em được hình chữ Z (so le trong), chữ F (đồng vị), chữ U nằm nghiêng (trong cùng phía). Chữ có thể bị lật ngược hoặc quay đi, tùy cặp góc và tùy hình. Chữ cái chỉ để nhận ra nhanh; trong bài làm em vẫn phải ghi tên loại cặp góc.
\(\widehat{A_1}\) và \(\widehat{B_2}\) là hai góc so le trong.
\(\widehat{A_1}\) và \(\widehat{B_2}\) cùng nằm bên phải c: đó là hai góc trong cùng phía. So le trong phải ở hai phía của c: \(\widehat{A_1}\) và \(\widehat{B_3}\).
Tính chất
Nếu đường thẳng c cắt hai đường thẳng a, b và trong các góc tạo thành có một cặp góc so le trong bằng nhau thì:
- cặp góc so le trong còn lại bằng nhau;
- các cặp góc đồng vị bằng nhau.
Suy ra thêm (nhờ kề bù): hai góc trong cùng phía bù nhau, tức có tổng bằng \(180^\circ\).
Vì sao: hiểu \(60^\circ\) và \(120^\circ\) từng bước
- Bước 1
Đề cho. \(\widehat{A_4} = \widehat{B_2} = 60^\circ\) (một cặp so le trong bằng nhau).
- Bước 2
Cặp so le trong còn lại. \(\widehat{A_1} = 180^\circ - 60^\circ = 120^\circ\) (kề bù với \(\widehat{A_4}\)).
\(\widehat{B_3} = 180^\circ - 60^\circ = 120^\circ\) (kề bù với \(\widehat{B_2}\)).
Vậy \(\widehat{A_1} = \widehat{B_3}\).
- Bước 3
Các cặp đồng vị. \(\widehat{A_2} = \widehat{A_4} = 60^\circ\) (đối đỉnh), mà \(\widehat{B_2} = 60^\circ\)
Nên \(\widehat{A_2} = \widehat{B_2}\).
Làm tương tự: \(\widehat{A_3} = \widehat{A_1} = 120^\circ\) và \(\widehat{B_1} = \widehat{B_3} = 120^\circ\) (đối đỉnh); \(\widehat{B_4} = \widehat{B_2} = 60^\circ\) (đối đỉnh). Bốn cặp đồng vị đều bằng nhau.
- Bước 4
Hai góc trong cùng phía. \(\widehat{A_1} + \widehat{B_2} = 120^\circ + 60^\circ = 180^\circ\).
\(\widehat{A_4} + \widehat{B_3} = 60^\circ + 120^\circ = 180^\circ\).
- Bước 5
Nhìn lại. Cả 8 góc chỉ có hai số đo: bốn góc \(60^\circ\) và bốn góc \(120^\circ\) (Hình 2).
Hai góc cùng số đo thì bằng nhau, hai góc khác số đo thì bù nhau.
Ví dụ tự kiểm tra: một cặp so le trong cùng bằng \(70^\circ\). Khi đó cặp so le trong còn lại mỗi góc bằng \(110^\circ\); góc đồng vị với một góc \(70^\circ\) cũng bằng \(70^\circ\); hai góc trong cùng phía là \(70^\circ\) và \(110^\circ\), tổng bằng \(180^\circ\).
Ghi nhớ
SO LE TRONG = MIỀN TRONG + HAI PHÍA · TRONG CÙNG PHÍA = MIỀN TRONG + CÙNG PHÍA · ĐỒNG VỊ = CÙNG VỊ TRÍ
2Dấu hiệu nhận biết hai đường thẳng song song Lớp 7
Dấu hiệu nhận biết
Nếu đường thẳng c cắt hai đường thẳng phân biệt a, b và trong các góc tạo thành có:
- một cặp góc so le trong bằng nhau, hoặc
- một cặp góc đồng vị bằng nhau,
thì a và b song song với nhau. Kí hiệu: \(a \parallel b\) (Hình 3).
Dấu hiệu này được thừa nhận, không chứng minh. Em chỉ cần chỉ ra một cặp góc bằng nhau là đủ.
Vì sao cặp đồng vị cũng dùng được?
Giả sử \(\widehat{A_2} = \widehat{B_2}\) (đồng vị). Ta có \(\widehat{A_4} = \widehat{A_2}\) (đối đỉnh), nên \(\widehat{A_4} = \widehat{B_2}\): đây là một cặp so le trong bằng nhau.
Chú ý về tia và đoạn thẳng
Hai tia (hoặc hai đoạn thẳng) gọi là song song khi chúng nằm trên hai đường thẳng song song. Ví dụ: chứng minh được hai đường thẳng chứa tia Aa và tia Bb song song thì viết \(Aa \parallel Bb\).
Nhìn hình thấy a và b không cắt nhau, nên \(a \parallel b\).
Phải chỉ ra một cặp góc so le trong (hoặc đồng vị) bằng nhau, ghi rõ lý do của từng số đo, rồi mới kết luận.
Vẽ đường thẳng qua A và song song với b bằng ê ke
Cho đường thẳng b và điểm A nằm ngoài b. Cần vẽ đường thẳng a đi qua A sao cho \(a \parallel b\).
- Bước 1
Đặt ê ke sao cho một cạnh của nó trùng với b.
Áp thước thẳng sát vào một cạnh khác của ê ke.
- Bước 2
Giữ chặt thước.
Trượt ê ke dọc theo thước tới khi cạnh thứ nhất của ê ke đi qua A.
- Bước 3
Kẻ đường thẳng a theo cạnh đó.
Vì sao đúng? Mép thước đóng vai trò cát tuyến. Khi trượt, góc giữa mép thước và cạnh ê ke không đổi, nên a và b tạo với mép thước hai góc đồng vị bằng nhau. Theo dấu hiệu nhận biết, \(a \parallel b\) (Hình 4).
Nhận xét: cùng vuông góc với một đường thẳng
Nếu hai đường thẳng a, b:
- phân biệt;
- cùng vuông góc với cùng một đường thẳng c,
thì a và b song song với nhau.
\(a \perp c,\; b \perp c \;\Rightarrow\; a \parallel b\)
a, b là hai đường thẳng phân biệt
Vì sao?
Gọi A, B là giao điểm của c với a, b. Khi đó \(\widehat{A_1} = \widehat{B_1} = 90^\circ\), mà hai góc này ở vị trí đồng vị, nên \(a \parallel b\) theo dấu hiệu nhận biết (Hình 5).
\(a \perp c\) và \(b \perp d\), nên \(a \parallel b\).
Hai đường thẳng phải vuông góc với cùng một đường thẳng. Ở đây c và d là hai đường thẳng khác nhau, nên chưa kết luận được (Hình 5, bên phải).
Đề cho gì, làm gì
Dấu hiệu trong sách có hai trường hợp. Gặp cặp góc ở vị trí khác, em dùng kề bù hoặc đối đỉnh để đổi về một trong hai trường hợp đó.
| Đề cho | Việc cần làm |
|---|---|
| Một cặp so le trong bằng nhau | Kết luận song song ngay. |
| Một cặp đồng vị bằng nhau | Kết luận song song ngay. |
| Một cặp trong cùng phía bù nhau | Dùng kề bù đổi một góc, được cặp so le trong bằng nhau, rồi kết luận. |
| Hai góc ngoài ở hai phía của c bằng nhau (so le ngoài) | Dùng đối đỉnh đổi một góc, được cặp đồng vị bằng nhau, rồi kết luận. |
| Hai đường thẳng phân biệt cùng vuông góc với một đường thẳng | Kết luận song song theo nhận xét. |
Có một cặp góc trong cùng phía bằng nhau: \(\widehat{A_1} = \widehat{B_2} = 70^\circ\), nên \(a \parallel b\).
Đổi về so le trong: \(\widehat{A_4} = 180^\circ - 70^\circ = 110^\circ\) (kề bù với \(\widehat{A_1}\)). Cặp so le trong \(\widehat{A_4}\), \(\widehat{B_2}\) là \(110^\circ\) và \(70^\circ\): không bằng nhau, nên không dùng được dấu hiệu. Cặp trong cùng phía phải bù nhau (ví dụ \(110^\circ\) và \(70^\circ\)) thì mới đổi được thành cặp so le trong bằng nhau.
Ghi nhớ
SO LE TRONG BẰNG NHAU hoặc ĐỒNG VỊ BẰNG NHAU → SONG SONG · TRONG CÙNG PHÍA: PHẢI BÙ NHAU, ĐỔI BẰNG KỀ BÙ
🎯 Cách trình bày thường được yêu cầu ở trường chuyên
Trong bài hình về song song, mỗi góc thường phải được suy ra từ đối đỉnh, kề bù, so le trong, đồng vị hoặc tia phân giác, kèm lý do trong ngoặc. Khi cộng hay trừ hai góc, em nêu tia nằm giữa trước rồi mới tính. Câu kết luận viết đủ: "mà hai góc này ở vị trí so le trong, nên a ∥ b".
Tổng kết
Sáu điều cần nhớ
- So le trong: ở miền trong, hai phía cát tuyến (2 cặp). Đồng vị: cùng vị trí (4 cặp). Trong cùng phía: ở miền trong, cùng phía cát tuyến (2 cặp).
- Một cặp so le trong bằng nhau ⇒ cặp so le trong còn lại bằng nhau, các cặp đồng vị bằng nhau, hai góc trong cùng phía bù nhau.
- Khi đó cả 8 góc chỉ có hai số đo: cùng số đo thì bằng nhau, khác số đo thì bù nhau.
- Dấu hiệu: một cặp so le trong bằng nhau hoặc một cặp đồng vị bằng nhau ⇒ song song.
- Hai đường thẳng phân biệt cùng vuông góc với cùng một đường thẳng ⇒ song song.
- Cặp góc đề cho không đúng loại: dùng kề bù, đối đỉnh để đổi về cặp so le trong hoặc đồng vị rồi mới kết luận.
Nếu đã biết a ∥ b thì các cặp so le trong có bằng nhau không?
Có, nhưng đó là tính chất của hai đường thẳng song song, sẽ học ở Bài 10 (dựa vào tiên đề Euclid). Ở Bài 9 em chỉ dùng chiều "góc bằng nhau ⇒ song song".
Đề cho cặp góc "so le ngoài" thì làm thế nào?
Hai góc so le ngoài là hai góc ngoài ở hai phía của cát tuyến, ví dụ \(\widehat{A_2}\) và \(\widehat{B_4}\). Nếu \(\widehat{A_2} = \widehat{B_4}\): ta có \(\widehat{A_4} = \widehat{A_2}\) (đối đỉnh), nên \(\widehat{A_4} = \widehat{B_4}\). Hai góc này ở vị trí đồng vị, nên \(a \parallel b\).
Có được viết "hình chữ Z" làm lý do trong bài làm không?
Không. Chữ Z, F, U chỉ là mẹo để nhận ra cặp góc cho nhanh. Trong bài làm em ghi đúng tên: "hai góc này ở vị trí so le trong" hoặc "ở vị trí đồng vị".