HomeStudyCách dùng bài này
Bài gồm 6 dạng toán, đúng với các nhóm câu trong quiz Vận dụng, Nâng cao và quiz bài tập đề cương. Với mỗi dạng, em đọc theo thứ tự: nhận biết → hướng làm → ví dụ (tự làm trước, rồi mới xem lời giải) → bẫy hay gặp. Cuối bài có bảng "Thấy gì, dùng gì" để ôn nhanh.
Dạng 1. Tính lũy thừa, xét dấu Lớp 7
Nhận biết
Đề có một trong các dấu hiệu:
- Tính trực tiếp một lũy thừa có cơ số là phân số, số thập phân, hỗn số hoặc số âm.
- Hỏi kết quả âm hay dương.
- Biểu thức nhiều ngoặc có lũy thừa, có thể có số mũ 0.
- Bài toán thực tế: số lượng tăng gấp đôi (gấp ba…) sau mỗi lần.
Hướng làm
- Bước 1
Đổi hỗn số, số thập phân thành phân số.
Xác định dấu: cơ số âm, mũ chẵn thì dương, mũ lẻ thì âm.
- Bước 2
Lũy thừa tử và mẫu riêng: \(\left(\dfrac{a}{b}\right)^n = \dfrac{a^n}{b^n}\).
- Bước 3
Biểu thức nhiều ngoặc: làm từ ngoặc tròn → ngoặc vuông
Trong mỗi ngoặc tính lũy thừa trước, rồi nhân chia, cuối cùng cộng trừ.
Nhớ \(a^0 = 1\) (\(a \ne 0\)).
- Bước 4
Gấp \(k\) lần sau mỗi lần: đếm số lần \(n\)
Số lượng ban đầu nhân với \(k^n\), không phải \(k \cdot n\).
Ví dụ 1
a) Tính \(\left(-1\dfrac{1}{2}\right)^3\).
b) Tính \((-0{,}2)^3\).
c) Không tính, cho biết \(\left(-\dfrac{5}{7}\right)^{2025}\) là số âm hay số dương.
Lời giải:
a) \(-1\dfrac{1}{2} = -\dfrac{3}{2}\).
Mũ 3 lẻ nên kết quả âm: \(\left(-\dfrac{3}{2}\right)^3 = -\dfrac{3^3}{2^3} = -\dfrac{27}{8}\).
b) \(-0{,}2 = -\dfrac{1}{5}\).
Mũ 3 lẻ nên kết quả âm: \((-0{,}2)^3 = -\dfrac{1}{125} = -0{,}008\).
Kiểm tra lại: \(0{,}2 \cdot 0{,}2 \cdot 0{,}2 = 0{,}008\).
c) Cơ số âm, số mũ 2025 lẻ (thừa một dấu trừ) nên kết quả là số âm.
Đáp số: a) \(-\dfrac{27}{8}\); b) \(-0{,}008\); c) số âm
Ví dụ 1b
a) Tính \(100 - \left[\left(2^3 - 3^0\right)^2 + 2^4 : 2^2\right]\).
b) Gấp đôi một tờ giấy 6 lần liên tiếp thì được một xấp dày bao nhiêu lớp giấy?
Lời giải:
a) Ngoặc tròn trước: \(2^3 - 3^0 = 8 - 1 = 7\)
Nên \(7^2 = 49\).
Trong ngoặc vuông: \(2^4 : 2^2 = 2^2 = 4\)
\(49 + 4 = 53\).
Cuối cùng: \(100 - 53 = 47\).
b) Ban đầu có 1 lớp
Mỗi lần gấp, số lớp gấp đôi: \(1 \to 2 \to 4 \to 8 \to \ldots\)
Gấp 6 lần là nhân 6 thừa số 2: \(2^6 = 64\) lớp.
Đáp số: a) 47; b) 64 lớp
\(\left(-1\dfrac{1}{2}\right)^3 = -1\dfrac{1}{8}\) (lũy thừa riêng phần nguyên và phần phân số); \(3^0 = 0\); gấp đôi 6 lần được \(2 \cdot 6 = 12\) lớp.
Đổi hỗn số ra phân số trước rồi mới lũy thừa; \(3^0 = 1\); gấp đôi 6 lần là nhân với \(2^6 = 64\).
Dạng 2. Áp dụng công thức: viết gọn thành một lũy thừa Lớp 7
Nhận biết
Đề có một trong các dấu hiệu:
- Yêu cầu "viết dưới dạng một lũy thừa" hoặc "tính nhanh".
- Biểu thức là tích, thương các lũy thừa mà cơ số là lũy thừa của cùng một số (4, 8, 16 là lũy thừa của 2; 9, 27, 81 là lũy thừa của 3).
- Tích các lũy thừa cùng số mũ mà tích các cơ số là số đẹp, như \(\left(\dfrac{1}{4}\right)^5 \cdot 8^5\).
Hướng làm
- Bước 1
Đưa về cùng cơ số nhỏ nhất: \(9 = 3^2\)
\(27 = 3^3\)
\(0{,}125 = \dfrac{1}{8} = \left(\dfrac{1}{2}\right)^3\).
- Bước 2
Dùng lũy thừa của lũy thừa, rồi cộng (trừ) số mũ.
Nếu các cơ số khác nhau nhưng cùng số mũ thì gộp cơ số: \(x^n \cdot y^n = (xy)^n\).
- Bước 3
Khác cả cơ số lẫn số mũ, nhưng số mũ này gấp số mũ kia: viết \(a^{2n} = \left(a^2\right)^n\) để có cùng số mũ, rồi gộp cơ số.
Ví dụ 2
a) Viết \(9^4 \cdot 27^2\) dưới dạng một lũy thừa của 3.
b) Tính nhanh \(\left(\dfrac{3}{4}\right)^4 \cdot 8^4\).
c) Viết \(3^{10} \cdot 5^5\) dưới dạng một lũy thừa có số mũ 5.
Lời giải:
a) \(9^4 = \left(3^2\right)^4 = 3^8\)
\(27^2 = \left(3^3\right)^2 = 3^6\).
Vậy \(9^4 \cdot 27^2 = 3^8 \cdot 3^6 = 3^{14}\).
b) Cùng số mũ 4 nên gộp cơ số: \(\left(\dfrac{3}{4} \cdot 8\right)^4 = 6^4 = 1296\).
c) Số mũ 10 gấp đôi số mũ 5: \(3^{10} = \left(3^2\right)^5 = 9^5\).
Cùng số mũ 5: \(9^5 \cdot 5^5 = (9 \cdot 5)^5 = 45^5\).
Đáp số: a) \(3^{14}\); b) 1296; c) \(45^5\)
\(9^4 \cdot 27^2 = 243^6\) (nhân hai cơ số khác nhau, cộng số mũ).
Cộng số mũ chỉ khi cùng cơ số; nhân cơ số chỉ khi cùng số mũ. Ở đây phải đưa về cùng cơ số 3 trước.
Dạng 3. Rút gọn biểu thức nhiều lũy thừa Lớp 7
Nhận biết
Đề có một trong các dấu hiệu:
- Phân số mà tử và mẫu là tích các lũy thừa, như \(\dfrac{45^{10} \cdot 5^{20}}{75^{15}}\).
- Tổng các lũy thừa cùng cơ số, như \(2^4 + 2^5 + 2^6\).
- Có cơ số âm, như \((-3)^5\), \((-6)^4\).
Hướng làm
- Cách 1
Tích, thương: xét dấu riêng (đếm thừa số âm có mũ lẻ)
Phân tích mọi cơ số ra thừa số nguyên tố (\(6 = 2 \cdot 3\), \(15 = 3 \cdot 5\))
Gom số mũ của từng số nguyên tố ở tử và mẫu
Rút gọn từng số.
- Cách 2
Tổng, hiệu: đặt lũy thừa nhỏ nhất làm thừa số chung: \(3^7 + 3^6 = 3^6 \cdot (3 + 1)\).
Ví dụ 3
Tính:
a) \(\dfrac{6^5 \cdot 10^2}{15^2 \cdot 4^3}\);
b) \(\dfrac{3^7 + 3^6}{3^5}\);
c) \(\dfrac{(-2)^5 \cdot 9^2}{(-6)^4}\).
Lời giải:
a) Tách ra thừa số nguyên tố: \(6^5 = 2^5 \cdot 3^5\)
\(10^2 = 2^2 \cdot 5^2\)
\(15^2 = 3^2 \cdot 5^2\)
\(4^3 = 2^6\).
Gom số mũ của từng số nguyên tố: \(\dfrac{2^7 \cdot 3^5 \cdot 5^2}{2^6 \cdot 3^2 \cdot 5^2}\).
Rút gọn từng số: \(2^{7 - 6} \cdot 3^{5 - 2} = 2 \cdot 3^3 = 54\) (Hình 8).
b) Đặt thừa số chung ở tử: \(\dfrac{3^6 \cdot (3 + 1)}{3^5} = 3 \cdot 4 = 12\).
c) Xét dấu riêng: tử có \((-2)^5\) mũ lẻ nên âm
Mẫu \((-6)^4\) mũ chẵn nên dương.
Kết quả âm.
Phần giá trị: \(\dfrac{2^5 \cdot 3^4}{2^4 \cdot 3^4} = 2\).
Vậy kết quả là \(-2\).
Kiểm tra lại: \(\dfrac{-32 \cdot 81}{1296} = \dfrac{-2592}{1296} = -2\).
Đáp số: a) 54; b) 12; c) \(-2\)
\(\dfrac{3^7 + 3^6}{3^5} = 3^{7 + 6 - 5} = 3^8\) (cộng số mũ của một tổng); hoặc ở câu c) ra \(2\) vì quên dấu của \((-2)^5\).
Công thức cộng số mũ chỉ dùng cho tích. Với tổng, đặt thừa số chung hoặc chia từng số hạng: \(3^2 + 3^1 = 12\). Có cơ số âm thì xét dấu trước, tính phần giá trị sau.
Dạng 4. So sánh hai lũy thừa Nâng cao
Nhận biết
Đề có một trong các dấu hiệu:
- Hai lũy thừa quá lớn để tính, như \(5^{20}\) và \(3^{30}\).
- Hai cơ số là lũy thừa của cùng một số, hoặc hai số mũ có ước chung lớn.
Hướng làm
- Cách 1
Cùng cơ số (cơ số lớn hơn 1): số mũ lớn hơn thì lũy thừa lớn hơn.
Dùng khi hai cơ số là lũy thừa của cùng một số (\(32 = 2^5\), \(16 = 2^4\)).
- Cách 2
Cùng số mũ (cơ số dương): cơ số lớn hơn thì lũy thừa lớn hơn.
Dùng khi hai số mũ có ước chung lớn: tìm ƯCLN của hai số mũ rồi viết \(a^{km} = \left(a^k\right)^m\).
Ví dụ 4
So sánh:
a) \(5^{20}\) và \(3^{30}\);
b) \(8^5\) và \(4^8\).
Lời giải:
a) Hai cơ số 5 và 3 không đưa về cùng cơ số được
Hai số mũ 20 và 30 có ƯCLN là 10 (Cách 2).
\(5^{20} = \left(5^2\right)^{10} = 25^{10}\)
\(3^{30} = \left(3^3\right)^{10} = 27^{10}\).
Vì \(25 < 27\) nên \(5^{20} < 3^{30}\) (Hình 9).
b) 8 và 4 đều là lũy thừa của 2 (Cách 1): \(8^5 = \left(2^3\right)^5 = 2^{15}\)
\(4^8 = \left(2^2\right)^8 = 2^{16}\).
Cùng cơ số \(2 > 1\) và \(15 < 16\) nên \(8^5 < 4^8\).
Đáp số: a) \(5^{20} < 3^{30}\); b) \(8^5 < 4^8\)
"\(3^{30}\) có số mũ lớn hơn nên lớn hơn" hoặc "\(5^{20}\) có cơ số lớn hơn nên lớn hơn".
Chỉ so được khi cùng cơ số hoặc cùng số mũ. Khác cả hai thì phải biến đổi trước.
Dạng 5. Tìm số mũ, tìm cơ số Lớp 7
Nhận biết
Đề có một trong các dấu hiệu:
- Ẩn nằm ở số mũ: \(2^{x + 1} + 2^x = 48\), \(9 < 3^n < 243\).
- Ẩn nằm ở cơ số: \((3x - 1)^2 = \dfrac{4}{9}\).
- Cùng một biểu thức chứa ẩn có hai số mũ khác nhau: \((x - 2)^3 = (x - 2)^2\).
- Hai phân số bằng nhau có ẩn ở mẫu.
Hướng làm
- Bước 1
Ẩn ở số mũ: nếu là tổng thì đặt lũy thừa nhỏ nhất làm thừa số chung
Đưa hai vế về cùng cơ số (khác \(0, 1, -1\))
Cho số mũ bằng nhau.
Lũy thừa bằng 1 thì số mũ bằng 0: \(7^{x - 1} = 1 = 7^0\) cho \(x - 1 = 0\).
Với bất đẳng thức, viết hai đầu thành lũy thừa cùng cơ số.
- Bước 2
Ẩn ở cơ số: viết vế phải thành lũy thừa cùng số mũ.
Mũ chẵn: cơ số bằng số đó hoặc số đối của nó (hai trường hợp). Vế phải bằng 0 thì chỉ một trường hợp; vế phải âm thì không có \(x\).
Mũ lẻ: chỉ một trường hợp, giữ nguyên dấu.
- Bước 3
\(A^m = A^n\) với \(m \ne n\): \(A\) chỉ có thể là \(0\), \(1\) hoặc \(-1\) (ba cơ số đặc biệt)
Thử từng giá trị.
Không chia hai vế cho \(A^n\), vì \(A\) có thể bằng 0.
- Bước 4
Ẩn ở mẫu: ghi điều kiện mẫu khác 0
Hai phân số bằng nhau thì nhân chéo, đưa về một lũy thừa bằng một số.
- Bước 5
Thử lại từng giá trị tìm được vào đề.
Ví dụ 5
a) Tìm số nguyên \(x\) biết \(2^{x + 1} + 2^x = 48\).
b) Tìm \(x\) biết \((3x - 1)^2 = \dfrac{4}{9}\).
c) Tìm số tự nhiên \(n\) biết \(9 < 3^n < 243\).
Lời giải:
a) \(2^x \cdot 2 + 2^x = 2^x \cdot (2 + 1) = 3 \cdot 2^x = 48\)
Nên \(2^x = 16 = 2^4\)
\(x = 4\) (Hình 10).
Thử lại: \(2^5 + 2^4 = 32 + 16 = 48\) ✓.
b) \(\dfrac{4}{9} = \left(\dfrac{2}{3}\right)^2 = \left(-\dfrac{2}{3}\right)^2\).
Mũ chẵn nên tách hai nhánh (Hình 11):
\(3x - 1 = \dfrac{2}{3}\) cho \(x = \dfrac{5}{9}\)
Hoặc \(3x - 1 = -\dfrac{2}{3}\) cho \(x = \dfrac{1}{9}\).
Thử lại: \(3 \cdot \dfrac{5}{9} - 1 = \dfrac{2}{3}\) và \(3 \cdot \dfrac{1}{9} - 1 = -\dfrac{2}{3}\)
Bình phương đều bằng \(\dfrac{4}{9}\) ✓.
c) \(9 = 3^2\)
\(243 = 3^5\)
\(3^2 < 3^n < 3^5\)
Nên \(2 < n < 5\)
\(n \in \{3; 4\}\).
Thử lại: \(3^3 = 27\) và \(3^4 = 81\) đều nằm giữa 9 và 243
\(3^2 = 9\)
\(3^5 = 243\) không thỏa vì đề dùng dấu nhỏ hơn hẳn.
Đáp số: a) \(x = 4\); b) \(x = \dfrac{1}{9}\) hoặc \(x = \dfrac{5}{9}\); c) \(n \in \{3; 4\}\)
Ví dụ 5b
Tìm \(x\) biết:
a) \((x - 2)^3 = (x - 2)^2\);
b) \(\dfrac{(x + 1)^2}{3} = \dfrac{27}{(x + 1)^2}\).
Lời giải:
a) Đặt \(A = x - 2\)
\(A^3 = A^2\) là hai lũy thừa của cùng cơ số \(A\), số mũ khác nhau.
Theo Bước 3, \(A\) chỉ có thể là \(0\), \(1\) hoặc \(-1\).
Thử từng giá trị: \(A = 0\) cho \(0 = 0\) ✓
\(A = 1\) cho \(1 = 1\) ✓
\(A = -1\) cho \(-1 \ne 1\) ✗ (mũ 3 lẻ giữ dấu âm, mũ 2 chẵn ra dương).
Vậy \(x - 2 = 0\) hoặc \(x - 2 = 1\), tức \(x = 2\) hoặc \(x = 3\).
b) Điều kiện \(x \ne -1\).
Nhân chéo: \((x + 1)^2 \cdot (x + 1)^2 = 3 \cdot 27\)
Tức \((x + 1)^4 = 81 = 3^4 = (-3)^4\).
Mũ 4 chẵn, hai nhánh: \(x + 1 = 3\) cho \(x = 2\)
\(x + 1 = -3\) cho \(x = -4\).
Cả hai khác \(-1\), nhận.
Thử lại: với \(x = 2\) hay \(x = -4\) đều có \((x + 1)^2 = 9\)
Và \(\dfrac{9}{3} = 3 = \dfrac{27}{9}\) ✓.
Đáp số: a) \(x = 2\) hoặc \(x = 3\); b) \(x = 2\) hoặc \(x = -4\)
\((3x - 1)^2 = \dfrac{4}{9}\) nên chỉ có \(3x - 1 = \dfrac{2}{3}\). Hoặc chia hai vế của \((x - 2)^3 = (x - 2)^2\) cho \((x - 2)^2\), được \(x - 2 = 1\), mất nghiệm \(x = 2\).
Hai số đối nhau có cùng bình phương: còn trường hợp \(3x - 1 = -\dfrac{2}{3}\). Mũ lẻ thì không có trường hợp thứ hai: \((x - 1)^3 = -8\) chỉ cho \(x - 1 = -2\). Không chia cho biểu thức có thể bằng 0: xét \(A \in \{0; 1; -1\}\).
Dạng 6. Chứng minh chia hết, thu gọn tổng lũy thừa Nâng cao
Nhận biết
Đề có một trong các dấu hiệu:
- Chứng minh một tổng (hiệu) các lũy thừa chia hết cho một số.
- Thu gọn tổng \(1 + a + a^2 + \ldots + a^n\).
- Thu gọn tổng đan dấu \(a^n - a^{n - 1} + a^{n - 2} - \ldots\)
Hướng làm
- Cách 1
Chia hết: đưa mọi lũy thừa về cùng cơ số (nếu cần)
Đặt lũy thừa nhỏ nhất làm thừa số chung
Phần còn lại là một số cụ thể, tách ra cho thấy số chia.
Ví dụ \(2^9 + 2^8 + 2^7 = 2^7 \cdot (4 + 2 + 1) = 2^7 \cdot 7\)
Chia hết cho 7.
- Cách 2
Thu gọn tổng: nhân cả tổng \(S\) với cơ số \(a\), được \(aS\) có các số hạng "dịch đi một ô"
Lấy \(aS - S\) thì các số hạng giữa triệt tiêu (Hình 12), rồi chia cho \(a - 1\) (\(a \ne 1\)).
- Cách 3
Tổng đan dấu: nhân với \(a\) rồi cộng: trong \(aS + S\), mỗi số hạng giữa có một lần dấu \(+\) và một lần dấu \(-\) nên triệt tiêu
Chia cho \(a + 1\).
Ví dụ 6
Chứng minh \(4^6 - 2^{10}\) chia hết cho 12.
Lời giải:
Đưa về cùng cơ số 2: \(4^6 = \left(2^2\right)^6 = 2^{12}\).
Đặt thừa số chung: \(2^{12} - 2^{10} = 2^{10} \cdot \left(2^2 - 1\right) = 2^{10} \cdot 3\).
Tách số chia: \(2^{10} \cdot 3 = 2^8 \cdot 2^2 \cdot 3 = 2^8 \cdot 12\)
Chia hết cho 12.
Kiểm tra lại: \(4^6 - 2^{10} = 4096 - 1024 = 3072 = 12 \cdot 256\) ✓.
Đáp số: \(4^6 - 2^{10} = 12 \cdot 2^8\) chia hết cho 12
Ví dụ 7
Thu gọn:
a) \(S = 1 + 5 + 5^2 + \ldots + 5^{10}\);
b) \(T = 3^6 - 3^5 + 3^4 - 3^3 + 3^2 - 3\).
Lời giải:
a) \(5S = 5 + 5^2 + \ldots + 5^{10} + 5^{11}\).
Lấy \(5S - S\): các số từ \(5\) đến \(5^{10}\) có ở cả hai tổng nên triệt tiêu, còn \(4S = 5^{11} - 1\).
Vậy \(S = \dfrac{5^{11} - 1}{4}\).
Kiểm tra lại với tổng nhỏ: \(1 + 5 + 25 = 31\) và \(\dfrac{5^3 - 1}{4} = \dfrac{124}{4} = 31\) ✓.
b) \(3T = 3^7 - 3^6 + 3^5 - 3^4 + 3^3 - 3^2\).
Cộng \(3T + T\): các số từ \(3^2\) đến \(3^6\) có một lần dấu \(+\), một lần dấu \(-\) nên triệt tiêu, còn \(4T = 3^7 - 3\).
Vậy \(T = \dfrac{3^7 - 3}{4} = \dfrac{2184}{4} = 546\).
Kiểm tra lại: \(729 - 243 + 81 - 27 + 9 - 3 = 546\) ✓.
Đáp số: a) \(S = \dfrac{5^{11} - 1}{4}\); b) \(T = 546\)
\(5S - S = 5^{11} - 1\) nên \(S = 5^{11} - 1\) (quên chia cho 4); với tổng đan dấu vẫn lấy \(3T - T\).
\(5S - S = 4S\): với cơ số \(a\) thì chia cho \(a - 1\). Tổng đan dấu thì cộng \(aS + S\) và chia cho \(a + 1\).
Tổng kết các dạng
Thấy gì, dùng gì
| Dấu hiệu trong đề | Cách làm | Bẫy hay gặp |
|---|---|---|
| Lũy thừa của phân số, số thập phân, hỗn số, số âm; biểu thức nhiều ngoặc; gấp đôi nhiều lần (Dạng 1) | Đổi ra phân số, xét dấu theo số mũ chẵn lẻ; lũy thừa trước, nhân chia, cộng trừ sau; gấp đôi \(n\) lần là nhân \(2^n\) | Lũy thừa riêng phần nguyên của hỗn số; \(3^0 = 0\); \(2 \cdot n\) thay cho \(2^n\) |
| Viết thành một lũy thừa, tính nhanh tích các lũy thừa (Dạng 2) | Đưa về cùng cơ số nhỏ nhất; hoặc đưa về cùng số mũ rồi gộp cơ số | Nhân hai cơ số khác nhau rồi cộng số mũ |
| Phân số mà tử, mẫu là tích hoặc tổng các lũy thừa (Dạng 3) | Xét dấu riêng; tách ra thừa số nguyên tố, gom, rút gọn từng số; tổng thì đặt thừa số chung | Cộng số mũ của một tổng; quên dấu của cơ số âm mũ lẻ |
| So sánh hai lũy thừa lớn (Dạng 4) | Đưa về cùng cơ số (lớn hơn 1) hoặc cùng số mũ (cơ số dương) | So ngay khi khác cả cơ số lẫn số mũ |
| Ẩn ở số mũ hoặc ở cơ số; ẩn ở mẫu (Dạng 5) | Cùng cơ số thì số mũ bằng nhau; mũ chẵn tách hai nhánh; \(A^m = A^n\) thì xét \(A \in \{0; 1; -1\}\); nhân chéo; thử lại | Thiếu nhánh số đối; chia hai vế cho biểu thức có thể bằng 0 |
| Chứng minh chia hết; thu gọn tổng lũy thừa, tổng đan dấu (Dạng 6) | Cùng cơ số, đặt thừa số chung, tách số chia; \(aS - S\) rồi chia \(a - 1\); đan dấu \(aS + S\) rồi chia \(a + 1\) | Quên chia cho \(a - 1\) hoặc \(a + 1\) |