HomeStudyTrước khi bắt đầu
Ở lớp 6 em đã gặp lũy thừa của số tự nhiên (\(2^3 = 8\)). Bài này mở rộng sang cơ số là số hữu tỉ: phân số, số thập phân, số âm. Các công thức vẫn như cũ; điều cần chú ý thêm là dấu khi cơ số âm và cách viết lũy thừa của một phân số. Sau bài này em làm được 5 việc:
- Tính lũy thừa của số hữu tỉ và biết kết quả âm hay dương.
- Dùng 5 công thức: tích, thương hai lũy thừa cùng cơ số; lũy thừa của lũy thừa; lũy thừa của một tích, một thương.
- Rút gọn biểu thức có nhiều lũy thừa bằng cách đưa về các cơ số nhỏ (2, 3, 5, 7…).
- So sánh hai lũy thừa bằng cách đưa về cùng cơ số hoặc cùng số mũ.
- Tìm số mũ hoặc tìm cơ số chưa biết.
Nhãn: Lớp 7 là kiến thức trong sách; Nâng cao là cách làm nhanh hoặc mở rộng ngoài sách.
Nhớ lại lớp 6
1. Lũy thừa của số tự nhiên Lớp 6 · Ch.I
\(a^n = a \cdot a \cdot \ldots \cdot a\) (\(n\) thừa số \(a\)); \(a\) là cơ số, \(n\) là số mũ. Ví dụ \(2^3 = 2 \cdot 2 \cdot 2 = 8\); \(a^1 = a\); \(a^0 = 1\) (\(a \ne 0\)).
2. Nhân, chia hai lũy thừa cùng cơ số Lớp 6 · Ch.I
\(a^m \cdot a^n = a^{m + n}\); \(a^m : a^n = a^{m - n}\) (\(a \ne 0\), \(m \ge n\)). Ví dụ \(3^4 \cdot 3^2 = 3^6\); \(5^7 : 5^3 = 5^4\).
3. Phân tích ra thừa số nguyên tố Lớp 6 · Ch.II
Viết một số thành tích các lũy thừa của số nguyên tố: \(72 = 2^3 \cdot 3^2\); \(225 = 3^2 \cdot 5^2\). Đây là công cụ chính để rút gọn biểu thức lũy thừa.
1Lũy thừa với số mũ tự nhiên Lớp 7
Định nghĩa
Lũy thừa bậc \(n\) của số hữu tỉ \(x\), kí hiệu \(x^n\), là tích của \(n\) thừa số \(x\):
\(x^n = \underbrace{x \cdot x \cdot \ldots \cdot x}_{n \text{ thừa số}}\) (\(x \in \mathbb{Q}\), \(n \in \mathbb{N}\), \(n > 1\)).
Quy ước
\(x^1 = x\); \(x^0 = 1\) (\(x \ne 0\)). Vì sao \(x^0 = 1\): xem mục 2.
Lũy thừa của một phân số
\(\left(\dfrac{a}{b}\right)^n = \dfrac{a^n}{b^n}\) (\(b \ne 0\)): vì nhân \(n\) phân số giống nhau là nhân \(n\) tử với nhau và \(n\) mẫu với nhau.
Ví dụ: \(\left(-\dfrac{3}{2}\right)^3 = \dfrac{(-3)^3}{2^3} = -\dfrac{27}{8}\); \(\left(-\dfrac{1}{2}\right)^4 = \dfrac{1}{16}\); \(\left(\dfrac{2}{3}\right)^0 = 1\).
Dấu của lũy thừa số âm: hiểu \((-2)^n\) từng bước
- Bước 1
Đọc đúng ý nghĩa. \((-2)^n\) là tích của \(n\) thừa số \(-2\), tức là có \(n\) dấu trừ nhân với nhau.
- Bước 2
Mở ra. \((-2)^2 = (-2) \cdot (-2) = 4\)
Hai dấu trừ thành dương.
\((-2)^3 = 4 \cdot (-2) = -8\)
Thêm một dấu trừ lại âm.
- Bước 3
Gom thành cặp. Mỗi cặp dấu trừ cho dấu cộng.
Số mũ chẵn: các dấu trừ ghép hết thành cặp, kết quả dương.
Số mũ lẻ: thừa một dấu trừ, kết quả âm.
- Bước 4
Thử lại. \((-2)^4 = 16\)
\((-2)^5 = -32\) (Hình 1).
Phần giá trị luôn là \(2^n\)
Chỉ dấu thay đổi.
Phân biệt \(-3^2\) với \((-3)^2\): \(-3^2 = -(3 \cdot 3) = -9\) (chỉ 3 được bình phương, dấu trừ đứng ngoài); \((-3)^2 = (-3) \cdot (-3) = 9\) (cả số âm được bình phương). Dấu ngoặc quyết định cơ số là gì (Hình 2).
Ba cơ số đặc biệt (với \(n \ge 1\)):
- \(1^n = 1\): nhân bao nhiêu số 1 cũng bằng 1.
- \(0^n = 0\): có thừa số 0 thì tích bằng 0.
- \((-1)^n = 1\) khi \(n\) chẵn, \((-1)^n = -1\) khi \(n\) lẻ. Ví dụ \((-1)^{2026} = 1\), \((-1)^{2025} = -1\).
\(\left(-\dfrac{2}{5}\right)^3 = \dfrac{8}{125}\) (quên dấu), hoặc \(\left(\dfrac{2}{5}\right)^3 = \dfrac{6}{5}\) (nhân cơ số với số mũ).
Mũ lẻ giữ dấu âm; lũy thừa cả tử và mẫu: \(\left(-\dfrac{2}{5}\right)^3 = -\dfrac{2^3}{5^3} = -\dfrac{8}{125}\).
Ghi nhớ
ĐẾM DẤU TRỪ: CHẴN → DƯƠNG · LẺ → ÂM
- Cơ số là phần đứng ngay trước số mũ: \(-3^2 = -9\), \((-3)^2 = 9\).
2Tích và thương của hai lũy thừa cùng cơ số Lớp 7
\(x^m \cdot x^n = x^{m + n}; \quad x^m : x^n = x^{m - n}\)
Cùng cơ số: nhân thì cộng số mũ, chia thì trừ số mũ (chia cần \(x \ne 0\), \(m \ge n\)).
Vì sao cộng số mũ? \(x^m\) là \(m\) thừa số \(x\), \(x^n\) là \(n\) thừa số \(x\); đặt cạnh nhau được \(m + n\) thừa số (Hình 3).
Vì sao chia thì trừ số mũ? Viết phép chia thành phân số: tử có \(m\) thừa số \(x\), mẫu có \(n\) thừa số \(x\). Mỗi cặp tử – mẫu giống nhau chia được 1, nên gạch đi được \(n\) cặp, ở tử còn \(m - n\) thừa số (Hình 4).
Vì sao quy ước \(x^0 = 1\)? Theo công thức, \(x^3 : x^3 = x^{3 - 3} = x^0\). Mặt khác, một số khác 0 chia cho chính nó bằng 1 (gạch hết cả 3 cặp). Để công thức chia vẫn đúng khi \(m = n\), người ta quy ước \(x^0 = 1\) với \(x \ne 0\).
Ví dụ: \(\left(-\dfrac{1}{3}\right)^2 \cdot \left(-\dfrac{1}{3}\right)^3 = \left(-\dfrac{1}{3}\right)^5 = -\dfrac{1}{243}\); \(\quad (0{,}2)^7 : (0{,}2)^5 = (0{,}2)^2 = 0{,}04\).
\(2^3 \cdot 2^4 = 4^7\) (nhân cả cơ số) hoặc \(2^3 \cdot 2^4 = 2^{12}\) (nhân số mũ).
Giữ nguyên cơ số, cộng số mũ: \(2^3 \cdot 2^4 = 2^7 = 128\). Thử: \(8 \cdot 16 = 128\).
Ghi nhớ
CÙNG CƠ SỐ: NHÂN → CỘNG SỐ MŨ · CHIA → TRỪ SỐ MŨ
- Giữ nguyên cơ số, không nhân hai cơ số với nhau.
3Lũy thừa của lũy thừa Lớp 7
\(\left(x^m\right)^n = x^{m \cdot n}\)
Lũy thừa của một lũy thừa: giữ cơ số, nhân hai số mũ.
Lũy thừa của lũy thừa: hiểu \(\left[\left(-\dfrac{1}{2}\right)^2\right]^3\) từng bước
- Bước 1
Đọc đúng ý nghĩa. Mũ 3 bên ngoài nghĩa là lấy \(\left(-\dfrac{1}{2}\right)^2\) nhân với chính nó 3 lần, giống \(5^3 = 5 \cdot 5 \cdot 5\).
- Bước 2
Mở ra. \(\left(-\dfrac{1}{2}\right)^2 \cdot \left(-\dfrac{1}{2}\right)^2 \cdot \left(-\dfrac{1}{2}\right)^2\): 3 nhóm, mỗi nhóm 2 thừa số \(-\dfrac{1}{2}\).
- Bước 3
Đếm. 3 nhóm, mỗi nhóm 2 thừa số: \(3 \cdot 2 = 6\) thừa số.
Vì vậy là nhân số mũ: \(\left(-\dfrac{1}{2}\right)^6\).
- Bước 4
Thử lại. \(\left(-\dfrac{1}{2}\right)^2 = \dfrac{1}{4}\)
Và \(\left(\dfrac{1}{4}\right)^3 = \dfrac{1}{64} = \left(-\dfrac{1}{2}\right)^6\) ✓.
Phân biệt với tích hai lũy thừa: \(x^2 \cdot x^3\) là 2 thừa số đặt cạnh 3 thừa số (cộng: \(x^5\)); \(\left(x^2\right)^3\) là 3 nhóm 2 thừa số (nhân: \(x^6\)).
\(\left[\left(-\dfrac{1}{2}\right)^2\right]^3 = \left(-\dfrac{1}{2}\right)^5 = -\dfrac{1}{32}\).
Nhân số mũ: \(\left(-\dfrac{1}{2}\right)^6 = \dfrac{1}{64}\). Kết quả phải dương, vì \(\left(-\dfrac{1}{2}\right)^2\) đã dương.
Ghi nhớ
MŨ CHỒNG MŨ: NHÂN SỐ MŨ · ĐẶT CẠNH NHAU: CỘNG SỐ MŨ
- \(\left(x^2\right)^3 = x^6\), còn \(x^2 \cdot x^3 = x^5\).
4Lũy thừa của một tích, một thương Lớp 7
\((x \cdot y)^n = x^n \cdot y^n; \quad \left(\dfrac{x}{y}\right)^n = \dfrac{x^n}{y^n}\ (y \ne 0)\)
Đọc từ trái sang phải để tách; đọc từ phải sang trái để gộp hai lũy thừa CÙNG SỐ MŨ.
Vì sao? \((2 \cdot 3)^3 = (2 \cdot 3) \cdot (2 \cdot 3) \cdot (2 \cdot 3)\). Đổi chỗ các thừa số, gom các số 2 với nhau, các số 3 với nhau: được \(2^3 \cdot 3^3\) (Hình 6). Thử lại: \(6^3 = 216\) và \(8 \cdot 27 = 216\). Với thương, \(\left(\dfrac{x}{y}\right)^n\) là nhân \(n\) phân số giống nhau, đúng như cách tính lũy thừa của một phân số ở mục 1.
Đọc từ phải sang trái là mẹo tính nhanh: \(\left(\dfrac{1}{3}\right)^4 \cdot 6^4 = \left(\dfrac{1}{3} \cdot 6\right)^4 = 2^4 = 16\); \(\dfrac{15^3}{5^3} = \left(\dfrac{15}{5}\right)^3 = 3^3 = 27\).
\((1 + 2)^2 = 1^2 + 2^2 = 5\) (tách lũy thừa của một tổng), hoặc \(2^3 \cdot 3^2 = 6^5\) (gộp khi khác số mũ).
Lũy thừa của một tổng: tính trong ngoặc trước, \((1 + 2)^2 = 3^2 = 9\) (Hình 7). Khác số mũ thì tính riêng từng lũy thừa: \(2^3 \cdot 3^2 = 8 \cdot 9 = 72\).
Ghi nhớ
CÙNG SỐ MŨ → GỘP CƠ SỐ · TỔNG TRONG NGOẶC → TÍNH NGOẶC TRƯỚC
- \(2^3 \cdot 5^3 = 10^3\); nhưng \((1 + 2)^2 = 9\), không phải \(1^2 + 2^2\).
📋 Năm công thức lũy thừa
| Công thức | Điều kiện | Ví dụ |
|---|---|---|
| \(x^m \cdot x^n = x^{m + n}\) | cùng cơ số | \((0{,}5)^2 \cdot (0{,}5)^3 = (0{,}5)^5\) |
| \(x^m : x^n = x^{m - n}\) | cùng cơ số, \(x \ne 0\), \(m \ge n\) | \(\left(-\dfrac{3}{4}\right)^5 : \left(-\dfrac{3}{4}\right)^2 = \left(-\dfrac{3}{4}\right)^3\) |
| \(\left(x^m\right)^n = x^{m \cdot n}\) | mọi \(x\) | \(\left(2^3\right)^4 = 2^{12}\) |
| \((x \cdot y)^n = x^n \cdot y^n\) | cùng số mũ | \(\left(\dfrac{1}{3}\right)^4 \cdot 6^4 = 2^4\) |
| \(\left(\dfrac{x}{y}\right)^n = \dfrac{x^n}{y^n}\) | cùng số mũ, \(y \ne 0\) | \(\dfrac{15^3}{5^3} = 3^3\) |
Chú ý: hai lũy thừa bằng nhau
Cùng cơ số: tìm số mũ
Với \(a \ne 0\), \(a \ne 1\), \(a \ne -1\): nếu \(a^m = a^n\) thì \(m = n\). Đây là chìa khóa của dạng tìm số mũ: đưa hai vế về cùng cơ số rồi cho số mũ bằng nhau. Phải loại \(0, 1, -1\) vì đó là ba cơ số đặc biệt ở mục 1: lũy thừa của chúng lặp lại giá trị, chẳng hạn \(1^2 = 1^5\) mà \(2 \ne 5\).
Cùng số mũ: tìm cơ số
Với \(n \ge 1\), nếu \(a^n = b^n\) thì:
- \(n\) lẻ: \(a = b\). Ví dụ \(x^3 = -8 = (-2)^3\) cho \(x = -2\), chỉ một giá trị.
- \(n\) chẵn: \(a = b\) hoặc \(a = -b\), vì mũ chẵn xóa dấu: \(7^2 = (-7)^2 = 49\). Ví dụ \(x^2 = 49\) cho \(x = 7\) hoặc \(x = -7\).
Luyện ở bài Các dạng bài, Dạng 5.
Nền tảng so sánh hai lũy thừa
- Cùng cơ số \(a > 1\): số mũ lớn hơn thì lũy thừa lớn hơn, vì mỗi lần nhân thêm một thừa số lớn hơn 1 thì tích tăng. Ví dụ \(2^3 = 8 < 2^5 = 32\).
- Cùng cơ số \(0 < a < 1\): ngược lại, số mũ lớn hơn thì lũy thừa nhỏ hơn, vì nhân thêm một số nhỏ hơn 1 thì tích giảm. Ví dụ \(\left(\dfrac{1}{2}\right)^3 = \dfrac{1}{8} > \left(\dfrac{1}{2}\right)^5 = \dfrac{1}{32}\).
- Cùng số mũ \(n \ge 1\), hai cơ số dương: cơ số lớn hơn thì lũy thừa lớn hơn, vì từng thừa số đều lớn hơn. Ví dụ \(2^4 = 16 < 3^4 = 81\).
Cơ số âm: xét dấu trước (mục 1), rồi mới so phần giá trị. Luyện ở bài Các dạng bài, Dạng 4.
🎯 Liên hệ chuyên đề và đề thi
Chuyên đề CD1 (Lũy thừa, chữ số tận cùng) dùng các công thức này để tìm chữ số tận cùng của số rất lớn. Đề HK1 của trường chuyên Trần Đại Nghĩa thường có một câu rút gọn phân số lũy thừa nhiều cơ số có số âm, và một câu tìm \(x\) có lũy thừa (\(9^{x + 3} + 3 \cdot 9^{x + 1} = \ldots\)).
Tổng kết
Sáu điều cần nhớ
- \(x^n\) là tích \(n\) thừa số \(x\); \(x^0 = 1\) (\(x \ne 0\)); \(\left(\dfrac{a}{b}\right)^n = \dfrac{a^n}{b^n}\).
- Cơ số âm: mũ chẵn ra dương, mũ lẻ ra âm. \(-3^2 \ne (-3)^2\); số thập phân cũng cần ngoặc: \((0{,}2)^2\).
- Cùng cơ số: nhân thì cộng số mũ, chia thì trừ số mũ.
- Lũy thừa của lũy thừa: nhân số mũ.
- Cùng số mũ: gộp được tích, thương các cơ số. Lũy thừa của một tổng thì không tách: tính trong ngoặc trước.
- Đưa về cùng cơ số hoặc cùng số mũ để tìm ẩn và so sánh: \(a^m = a^n \Rightarrow m = n\) (\(a \ne 0; 1; -1\)); mũ chẵn \(a^n = b^n \Rightarrow a = b\) hoặc \(a = -b\); cơ số lớn hơn 1 thì mũ lớn hơn, lũy thừa lớn hơn.
Lũy thừa có luôn làm số lớn lên không?
Không. Với số nằm giữa 0 và 1, lũy thừa càng cao càng nhỏ: \((0{,}5)^2 = 0{,}25 < 0{,}5\). Với số âm, lũy thừa đổi dấu theo số mũ.
\(2^3\) và \(3^2\) có bằng nhau không?
Không: \(2^3 = 8\), \(3^2 = 9\). Đổi chỗ cơ số và số mũ thường cho số khác, nên phải đọc đúng số nào là cơ số.
Có công thức cho \(x^m + x^n\) không?
Không có công thức gộp tổng thành một lũy thừa. Cách làm là đặt thừa số chung: \(2^5 + 2^3 = 2^3 \cdot (2^2 + 1) = 2^3 \cdot 5\). Đây là mẹo chính ở các bài rút gọn và tìm \(x\) (xem bài Các dạng bài).