Tập hợp các số hữu tỉ — Các dạng bài và ví dụ

Lời giải:

a) \(\dfrac{3}{-5} = \dfrac{-3}{5}\)

\(-1{,}2 = \dfrac{-12}{10} = \dfrac{-6}{5}\)

\(1\dfrac{1}{2} = \dfrac{3}{2}\).

Cả ba đều viết được dạng \(\dfrac{a}{b}\) với \(a, b\) nguyên, \(b \ne 0\).

b) Một số đứng trước tập hợp thì dùng \(\in\) hoặc \(\notin\)

Một tập hợp đứng trước tập hợp thì dùng \(\subset\).

• \(-3 \notin \mathbb{N}\): số âm không phải số tự nhiên.
• \(-3 \in \mathbb{Z}\): \(-3\) là số nguyên.
• \(\dfrac{1}{2} \notin \mathbb{Z}\): \(\dfrac{1}{2}\) không phải số nguyên.
• \(0 \in \mathbb{Q}\): \(0 = \dfrac{0}{1}\).
• \(\mathbb{N} \subset \mathbb{Z}\): mọi số tự nhiên đều là số nguyên.

Đáp số: a) cả ba đều thuộc \(\mathbb{Q}\). b) \(\notin\); \(\in\); \(\notin\); \(\in\); \(\subset\)

Lời giải:

Chia mỗi đơn vị thành 3 phần, đếm 7 phần sang trái từ 0 (Hình 6):

• đếm đủ 3 phần thì tới đúng \(-1\);
• đếm đủ 6 phần thì tới đúng \(-2\);
• phần thứ 7 vượt qua \(-2\) thêm \(\dfrac{1}{3}\): \(-\dfrac{7}{3} = -2 - \dfrac{1}{3} \approx -2{,}33\).

Vậy điểm \(-\dfrac{7}{3}\) nằm giữa \(-3\) và \(-2\), cách 0 bảy phần.

Đáp số: giữa \(-3\) và \(-2\); 7 phần

Lời giải:

a) Đổi về mẫu dương trước: \(\dfrac{5}{-3} = \dfrac{-5}{3}\).

Mẫu 3: chia đoạn đơn vị thành 3 phần.

Tử \(-5\) âm: điểm nằm bên trái 0, cách 0 đúng 5 phần (nằm giữa \(-2\) và \(-1\)).

b) Khoảng cách tới 0 (không kể dấu): \(\dfrac{4}{3} \approx 1{,}33\)

\(\dfrac{9}{5} = 1{,}8\)

\(0{,}5\)

\(1{,}5\).

Xa 0 nhất là điểm \(-\dfrac{9}{5}\) (cách 0 là \(1{,}8\)).

Lớn nhất là số nằm ngoài cùng bên phải: \(1{,}5\).

Đáp số: a) 3 phần; bên trái; 5 phần. b) xa 0 nhất: \(-\dfrac{9}{5}\); lớn nhất: \(1{,}5\)

Lời giải:

a) Đổi dấu: số đối của \(-0{,}4\) là \(0{,}4\).

b) Rút gọn trước: \(-(-3)\) có 2 dấu trừ (chẵn) nên bằng \(3\).

Số đối là \(-3\).

c) Có 3 dấu trừ (lẻ) nên \(-\left(-\left(-\dfrac{2}{3}\right)\right) = -\dfrac{2}{3}\).

Số đối là \(\dfrac{2}{3}\).

Đáp số: a) \(0{,}4\); b) \(-3\); c) \(\dfrac{2}{3}\)

Lời giải:

a) Mẫu chung dương 18: \(-\dfrac{5}{6} = \dfrac{-15}{18}\)

\(-\dfrac{7}{9} = \dfrac{-14}{18}\).

Vì \(-15 < -14\) nên \(-\dfrac{5}{6} < -\dfrac{7}{9}\).

b) Hai số khác dạng: đổi \(-\dfrac{3}{4} = -0{,}75\).

Hai số cùng âm, \(0{,}8\) xa 0 hơn \(0{,}75\), nên \(-0{,}8 < -0{,}75\).

Đáp số: a) \(-\dfrac{5}{6} < -\dfrac{7}{9}\); b) \(-0{,}8 < -\dfrac{3}{4}\)

Lời giải:

Đổi về số thập phân: \(-12\dfrac{3}{4} = -12{,}75\)

\(-\dfrac{63}{5} = -12{,}6\).

Bốn số cùng âm: số xa 0 hơn thì nhỏ hơn.

\(12{,}75 > 12{,}6 > 12{,}5 > 11{,}9\)

Nên:

\(-12{,}75 < -12{,}6 < -12{,}5 < -11{,}9\).

Sâu nhất là độ cao nhỏ nhất: điểm B.

Nông nhất là độ cao lớn nhất: điểm D.

Đáp số: sâu nhất: B (\(-12\dfrac{3}{4}\) m); nông nhất: D (\(-11{,}9\) m)

Lời giải:

Đếm dấu trừ của mỗi số (chẵn thì dương, lẻ thì âm):

\(\dfrac{-3}{-8}\): 2 dấu trừ, bằng \(\dfrac{3}{8}\), dương.

\(\dfrac{5}{-9}\): 1 dấu trừ, bằng \(-\dfrac{5}{9}\), âm.

\(-\dfrac{-2}{7}\): 2 dấu trừ, bằng \(\dfrac{2}{7}\), dương.

\(-\left(\dfrac{4}{-11}\right)\): 2 dấu trừ, bằng \(\dfrac{4}{11}\), dương.

\(\dfrac{0}{-6} = 0\)

Không âm, không dương.

Đáp số: chỉ có \(\dfrac{5}{-9}\) là số hữu tỉ âm

Lời giải:

a) Dùng số trung gian \(\dfrac{1}{2}\) (Hình 7).

Một phân số dương nhỏ hơn \(\dfrac{1}{2}\) khi hai lần tử nhỏ hơn mẫu.

\(2 \cdot 11 = 22 < 23\)

Nên \(\dfrac{11}{23} < \dfrac{1}{2}\).

\(2 \cdot 17 = 34 > 33\)

Nên \(\dfrac{17}{33} > \dfrac{1}{2}\).

Vậy \(\dfrac{11}{23} < \dfrac{17}{33}\).

b) Dùng phần bù tới 1: \(\dfrac{99}{100}\) thiếu \(\dfrac{1}{100}\), \(\dfrac{100}{101}\) thiếu \(\dfrac{1}{101}\).

\(\dfrac{1}{100} > \dfrac{1}{101}\)

Thiếu nhiều hơn thì nhỏ hơn, nên \(\dfrac{99}{100} < \dfrac{100}{101}\).

c) Đổi dấu thì đổi chiều: từ câu b suy ra \(-\dfrac{99}{100} > -\dfrac{100}{101}\).

Đáp số: a) \(\dfrac{11}{23} < \dfrac{17}{33}\); b) \(\dfrac{99}{100} < \dfrac{100}{101}\); c) \(-\dfrac{99}{100} > -\dfrac{100}{101}\)

Lời giải:

a) Nhóm âm: \(-\dfrac{3}{4} = -0{,}75 < -0{,}5\).

Nhóm dương: \(0{,}6 < 0{,}67 \approx \dfrac{2}{3}\).

Số 0 đứng giữa hai nhóm (Hình 8).

Thứ tự: \(-\dfrac{3}{4}; -0{,}5; 0; 0{,}6; \dfrac{2}{3}\).

b) Mẫu chung 6: \(\dfrac{2}{6}\) và \(\dfrac{3}{6}\), tử liền nhau nên chưa thấy số ở giữa.

Nhân đôi cả tử và mẫu: \(\dfrac{4}{12}\) và \(\dfrac{6}{12}\), chọn \(\dfrac{5}{12}\) (Hình 9).

c) Đề cho sẵn tử nên quy đồng tử về \(-10\)

\(-\dfrac{5}{6} = \dfrac{-10}{12}\)

\(-\dfrac{5}{7} = \dfrac{-10}{14}\).

Mẫu nằm giữa 12 và 14 là 13, được \(\dfrac{-10}{13}\).

Kiểm: cùng tử âm, mẫu dương càng lớn thì phân số càng gần 0, tức càng lớn, nên \(\dfrac{-10}{12} < \dfrac{-10}{13} < \dfrac{-10}{14}\).

Đáp số: a) \(-\dfrac{3}{4}; -0{,}5; 0; 0{,}6; \dfrac{2}{3}\). b) \(\dfrac{5}{12}\) (còn nhiều số khác). c) \(\dfrac{-10}{13}\)

Lời giải:

a) Cùng mẫu dương 13: so các tử.

\(-2 > -5 > -7 > -11\)

Nên:

\(\dfrac{-2}{13} > \dfrac{-5}{13} > \dfrac{-7}{13} > \dfrac{-11}{13}\).

b) Cùng tử âm \(-4\): mẫu dương càng lớn thì phân số càng gần 0, tức càng lớn.

\(9 > 7 > 5 > 3\)

Nên:

\(\dfrac{-4}{9} > \dfrac{-4}{7} > \dfrac{-4}{5} > \dfrac{-4}{3}\).

Kiểm tra lại: \(-0{,}44 > -0{,}57 > -0{,}8 > -1{,}33\) ✓.

Đáp số: a) \(\dfrac{-2}{13}; \dfrac{-5}{13}; \dfrac{-7}{13}; \dfrac{-11}{13}\). b) \(\dfrac{-4}{9}; \dfrac{-4}{7}; \dfrac{-4}{5}; \dfrac{-4}{3}\)

Lời giải:

a) Đổi hai số về mẫu 12: \(-\dfrac{3}{4} = \dfrac{-9}{12}\)

\(-\dfrac{1}{3} = \dfrac{-4}{12}\).

Cần \(-9 < a < -4\)

Tức \(a \in \{-8; -7; -6; -5\}\)

Có 4 phân số (Hình 10).

b) Mẫu chung của 7 và 20 là 140: \(-\dfrac{2}{7} = \dfrac{-40}{140}\)

\(\dfrac{a}{20} = \dfrac{7a}{140}\)

\(-\dfrac{1}{7} = \dfrac{-20}{140}\).

Cần \(-40 < 7a < -20\).

Các bội của 7 trong khoảng này là \(-35; -28; -21\), ứng với \(a = -5; -4; -3\).

Kiểm tra lại: \(\dfrac{-5}{20} = -0{,}25\)

\(\dfrac{-3}{20} = -0{,}15\)

Đều nằm giữa \(-0{,}286\) và \(-0{,}143\) ✓.

Đáp số: a) 4 phân số. b) \(\dfrac{-5}{20}; \dfrac{-4}{20}; \dfrac{-3}{20}\)

Lời giải:

Quy đồng mẫu dương \(bd\)

\(x = \dfrac{ad}{bd}\)

\(y = \dfrac{bc}{bd}\).

\(ad - bc = 2 > 0\)

Nên \(ad > bc\).

Hai phân số cùng mẫu dương, tử lớn hơn thì lớn hơn: \(x > y\).

Thử bằng số: \(x = \dfrac{1}{1}\)

\(y = \dfrac{1}{3}\)

\(ad - bc = 1 \cdot 3 - 1 \cdot 1 = 2\) và \(1 > \dfrac{1}{3}\) ✓.

Đáp số: \(x > y\)

Lời giải:

a) Mẫu 4 dương.

\(x < 0\) khi \(a - 3 < 0\), tức \(a < 3\).

\(x = 0\) khi \(a = 3\).

b) \(\dfrac{n + 3}{n + 1} = \dfrac{(n + 1) + 2}{n + 1} = 1 + \dfrac{2}{n + 1}\).

Cần \(n + 1\) là ước của 2 (kể cả ước âm): \(n + 1 \in \{1; -1; 2; -2\}\).

Xét từng trường hợp và thử lại:

Đáp số: a) \(a < 3\); \(a = 3\). b) \(n \in \{-3; -2; 0; 1\}\)

Lời giải:

Đổi về mẫu dương: \(x = \dfrac{2m - 5}{-3} = \dfrac{5 - 2m}{3}\) (Hình 11).

a) Mẫu 3 dương, nên \(x > 0\) khi \(5 - 2m > 0\), tức \(2m < 5\).

Vì \(m\) nguyên nên \(m \le 2\)

Lớn nhất là \(m = 2\).

b) \(x < 0\) khi \(5 - 2m < 0\), tức \(2m > 5\).

Vì \(m\) nguyên nên \(m \ge 3\)

Nhỏ nhất là \(m = 3\).

Kiểm tra lại: \(m = 2\)

\(x = \dfrac{-1}{-3} = \dfrac{1}{3} > 0\) ✓

\(m = 3\)

\(x = \dfrac{1}{-3} < 0\) ✓.

Đáp số: a) \(m \le 2\), lớn nhất \(m = 2\). b) \(m \ge 3\), nhỏ nhất \(m = 3\)

Lời giải:

Nếu \(x\) là số nguyên thì \(a + 4\) chia hết cho \(2a\), nên cũng chia hết cho \(a\).

Mà \(a\) chia hết cho \(a\), nên 4 chia hết cho \(a\).

Vậy \(a\) là ước của 4: \(a \in \{1; -1; 2; -2; 4; -4\}\).

Đây mới là điều kiện cần, phải thử lại từng giá trị:

Chỉ có \(a = 4\) và \(a = -4\) cho \(x\) nguyên.

Đáp số: \(a \in \{-4; 4\}\)