HomeStudyTrước khi bắt đầu
Bài 9 cho em cách nhận biết hai đường thẳng song song (từ góc bằng nhau). Bài này đi theo chiều ngược lại: đã biết hai đường thẳng song song thì các góc có tính chất gì. Đây là công cụ chính cho dạng góc gãy khúc, dạng hay gặp trong đề cương trường chuyên. Sau bài này em làm được 5 việc:
- Phát biểu và dùng tiên đề Euclid (kể cả để chứng minh ba điểm thẳng hàng).
- Tính góc khi biết hai đường thẳng song song (so le trong, đồng vị, trong cùng phía).
- Dùng hai nhận xét: vuông góc với một trong hai đường song song; cùng song song với đường thứ ba.
- Tính góc gãy khúc bằng cách kẻ thêm đường song song qua đỉnh gãy.
- Chọn đúng chiều: dấu hiệu để chứng minh song song, tính chất để tính góc.
Các dạng bài (kể cả chứng minh song song qua đỉnh gãy) luyện ở bài "Các dạng bài và ví dụ". Nhãn: Lớp 7 là kiến thức trong sách; Nâng cao là mở rộng ngoài sách, hay gặp trong đề trường chuyên.
Nhớ lại bài trước
1. Ba loại cặp góc Lớp 7 · Bài 9
Đường thẳng c cắt a, b tại A, B. Ở mỗi đỉnh đánh số: 1 dưới – phải, 2 trên – phải, 3 trên – trái, 4 dưới – trái.
- So le trong: \(\widehat{A_1}\) và \(\widehat{B_3}\); \(\widehat{A_4}\) và \(\widehat{B_2}\).
- Đồng vị: hai góc cùng số, ví dụ \(\widehat{A_1}\) và \(\widehat{B_1}\).
- Trong cùng phía: \(\widehat{A_1}\) và \(\widehat{B_2}\); \(\widehat{A_4}\) và \(\widehat{B_3}\).
2. Dấu hiệu nhận biết Lớp 7 · Bài 9
Nếu c cắt a, b và có một cặp góc so le trong (hoặc đồng vị) bằng nhau thì \(a \parallel b\). Hai đường thẳng phân biệt cùng vuông góc với một đường thẳng thì song song với nhau.
1Tiên đề Euclid Lớp 7
Tiên đề Euclid
Qua một điểm ở ngoài một đường thẳng, chỉ có một đường thẳng song song với đường thẳng đó (Hình 1).
Cách hiểu khác
Nếu qua điểm M nằm ngoài đường thẳng a có hai đường thẳng cùng song song với a thì hai đường thẳng đó trùng nhau.
Tiên đề là gì?
Tiên đề là điều được thừa nhận là đúng, không chứng minh, dùng làm nền để chứng minh các điều khác.
Qua A kẻ được b và b' cùng song song với a, nên \(b \parallel b'\).
b và b' cùng đi qua A nên không thể song song với nhau. Theo tiên đề Euclid, chúng trùng nhau.
Hai hệ quả của tiên đề
1. Cắt một thì cắt cả hai
Nếu một đường thẳng cắt một trong hai đường thẳng song song thì nó cũng cắt đường thẳng còn lại.
Vì sao? Cho \(a \parallel b\), c cắt a tại M. Nếu c không cắt b thì \(c \parallel b\). Khi đó qua M có hai đường thẳng a và c cùng song song với b, trái với tiên đề Euclid.
2. Chứng minh ba điểm thẳng hàng
Nếu hai đường thẳng AB và AC cùng song song với một đường thẳng d thì ba điểm A, B, C thẳng hàng.
Vì sao? AB và AC cùng đi qua A và cùng song song với d, nên chúng trùng nhau (tiên đề Euclid). Vậy A, B, C cùng nằm trên một đường thẳng (Hình 2).
Ghi nhớ
QUA MỘT ĐIỂM NGOÀI ĐƯỜNG THẲNG: CHỈ MỘT ĐƯỜNG SONG SONG · HAI ĐƯỜNG NHƯ THẾ THÌ TRÙNG NHAU
2Tính chất của hai đường thẳng song song Lớp 7
Tính chất
Nếu một đường thẳng cắt hai đường thẳng song song thì:
- hai góc so le trong bằng nhau;
- hai góc đồng vị bằng nhau.
Suy ra thêm (nhờ kề bù): hai góc trong cùng phía bù nhau, tức có tổng bằng \(180^\circ\).
\(a \parallel b \;\Rightarrow\; \widehat{A_1} = \widehat{B_3}\)
\(a \parallel b \;\Rightarrow\; \widehat{A_1} = \widehat{B_1}\)
\(a \parallel b \;\Rightarrow\; \widehat{A_1} + \widehat{B_2} = 180^\circ\)
so le trong · đồng vị · trong cùng phía
Vì sao song song thì so le trong bằng nhau: hiểu từng bước
- Bước 1
Đề cho. \(a \parallel b\), c cắt a tại A, cắt b tại B.
Cần chứng minh \(\widehat{B_3} = \widehat{A_1}\).
- Bước 2
Dựng thử. Qua B vẽ đường thẳng b' sao cho góc so le trong với \(\widehat{A_1}\) đúng bằng \(\widehat{A_1}\).
Theo dấu hiệu của Bài 9, \(b' \parallel a\).
- Bước 3
Dùng tiên đề. Qua B có b và b' cùng song song với a, nên b' trùng b (tiên đề Euclid).
Vậy góc so le trong của b cũng bằng \(\widehat{A_1}\) (Hình 4).
- Bước 4
Suy ra hai ý còn lại. \(\widehat{B_1} = \widehat{B_3}\) (đối đỉnh), nên \(\widehat{B_1} = \widehat{A_1}\)
Đồng vị bằng nhau.
\(\widehat{B_2} + \widehat{B_3} = 180^\circ\) (kề bù), nên \(\widehat{B_2} + \widehat{A_1} = 180^\circ\): trong cùng phía bù nhau.
- Bước 5
Thử bằng số. Với \(\widehat{A_1} = 110^\circ\)
\(\widehat{B_3} = 110^\circ\)
\(\widehat{B_1} = 110^\circ\)
\(\widehat{B_2} = 180^\circ - 110^\circ = 70^\circ\) ✓ (Hình 3).
Ví dụ tự kiểm tra: \(a \parallel b\), một góc bằng \(125^\circ\). Khi đó góc so le trong với nó bằng \(125^\circ\), góc đồng vị với nó bằng \(125^\circ\), góc trong cùng phía với nó bằng \(180^\circ - 125^\circ = 55^\circ\).
Dấu hiệu (Bài 9) và tính chất (Bài 10)
| Tên | Biết gì | Suy ra gì | Dùng khi |
|---|---|---|---|
| Dấu hiệu | Một cặp so le trong (đồng vị) bằng nhau | \(a \parallel b\) | Đề hỏi "chứng minh song song" |
| Tính chất | \(a \parallel b\) | So le trong, đồng vị bằng nhau; trong cùng phía bù nhau | Đề cho song song, hỏi "tính góc" |
Đề cho \(a \parallel b\) và hỏi tính góc, nhưng lời giải viết "vì \(\widehat{A_1} = \widehat{B_3}\) nên \(a \parallel b\)".
Đi đúng chiều: "Vì \(a \parallel b\) nên \(\widehat{B_3} = \widehat{A_1}\) (hai góc so le trong)". Dấu hiệu dùng để chứng minh song song, tính chất dùng để tính góc.
\(a \parallel b\), một góc so le trong bằng \(72^\circ\), nên góc so le trong với nó bằng \(180^\circ - 72^\circ = 108^\circ\).
So le trong và đồng vị thì bằng nhau: \(72^\circ\). Chỉ cặp trong cùng phía mới bù nhau.
Hai nhận xét
1. Vuông góc với một trong hai đường thẳng song song
Một đường thẳng vuông góc với một trong hai đường thẳng song song thì cũng vuông góc với đường thẳng còn lại.
\(a \parallel b,\; c \perp a \;\Rightarrow\; c \perp b\)
Vì sao? c cắt a nên cũng cắt b (hệ quả 1). Góc giữa c và a bằng \(90^\circ\); góc đồng vị với nó ở b cũng bằng \(90^\circ\) (tính chất). Vậy \(c \perp b\).
2. Cùng song song với đường thẳng thứ ba
Hai đường thẳng phân biệt cùng song song với một đường thẳng thứ ba thì song song với nhau.
\(a \parallel c,\; b \parallel c \;\Rightarrow\; a \parallel b\)
a, b là hai đường thẳng phân biệt
Vì sao? Nếu a cắt b tại M thì qua M có hai đường thẳng a, b cùng song song với c, trái với tiên đề Euclid. Vậy a và b không cắt nhau, tức \(a \parallel b\) (Hình 5).
\(c \perp a\) và \(d \perp c\), nên \(d \perp a\).
a và d cùng vuông góc với c. Nếu a, d phân biệt thì chúng song song với nhau (Bài 9), không vuông góc.
Ghi nhớ
SONG SONG → SO LE TRONG BẰNG · ĐỒNG VỊ BẰNG · TRONG CÙNG PHÍA BÙ
3Góc gãy khúc: kẻ thêm đường song song Nâng cao
Cách làm
Cho \(AB \parallel DE\) và đỉnh C của đường gấp khúc nằm giữa hai đường thẳng đó. Hai góc đề cho không chung cát tuyến với góc ở C, nên chưa dùng được tính chất.
- Kẻ thêm: qua đỉnh gãy C kẻ tia Cm song song với AB.
- Bắc cầu: \(AB \parallel DE\) nên \(Cm \parallel DE\) (cùng song song với AB).
- Tách góc: tia Cm chia góc ở C thành hai phần. Mỗi phần cùng với một góc đề cho tạo thành cặp so le trong (bằng nhau) hoặc trong cùng phía (bù nhau).
Tính góc BCE khi biết hai góc \(35^\circ\) và \(45^\circ\): hiểu từng bước
Cho \(AB \parallel DE\), \(\widehat{ABC} = 35^\circ\), \(\widehat{CED} = 45^\circ\) (Hình 6). Tính \(\widehat{BCE}\).
- Bước 1
Kẻ thêm. Qua C kẻ tia Cm song song với AB, hướng về phía B, E.
Vì \(AB \parallel DE\) nên \(Cm \parallel DE\) (cùng song song với AB).
- Bước 2
Phần trên. \(Cm \parallel AB\) nên \(\widehat{BCm} = \widehat{ABC} = 35^\circ\) (hai góc so le trong).
- Bước 3
Phần dưới. \(Cm \parallel DE\) nên \(\widehat{mCE} = \widehat{CED} = 45^\circ\) (hai góc so le trong).
- Bước 4
Cộng. Tia Cm nằm giữa hai tia CB, CE, nên \(\widehat{BCE} = 35^\circ + 45^\circ = 80^\circ\).
Viết ngay \(\widehat{BCE} = \widehat{ABC} + \widehat{CED}\), hoặc lấy \(45^\circ - 35^\circ\), mà không kẻ thêm đường nào.
Phải kẻ tia Cm, nêu hai cặp so le trong và tia nằm giữa rồi mới cộng. Không có bước kẻ thêm thì phép cộng chưa có lý do.
Nối B với E, dùng tổng ba góc của tam giác BCE để tính \(\widehat{BCE}\).
Định lí tổng ba góc của tam giác tới Bài 12 mới học, nên chưa được dùng ở đây. Kẻ đường song song qua đỉnh gãy và dùng so le trong, đồng vị, trong cùng phía.
Ghi nhớ
GÓC GÃY KHÚC: KẺ ĐƯỜNG SONG SONG QUA ĐỈNH GÃY → TÁCH GÓC THÀNH HAI PHẦN → CỘNG
🎯 Dạng hay gặp trong đề cương trường chuyên Trần Đại Nghĩa
Phần lớn bài tập của Bài 10 trong đề cương là góc gãy khúc, nhiều bài có dấu (*). Các kiểu thường gặp: tính góc ở đỉnh gãy, chứng minh hai đường thẳng song song qua đỉnh gãy, và đặt ẩn cho hai góc. Bài "Các dạng bài và ví dụ" có ví dụ cho từng kiểu.
Tổng kết
Sáu điều cần nhớ
- Tiên đề Euclid: qua một điểm ở ngoài một đường thẳng chỉ có một đường thẳng song song với nó.
- Hệ quả: cắt một trong hai đường song song thì cắt cả hai; AB và AC cùng song song với d thì A, B, C thẳng hàng.
- \(a \parallel b\) ⇒ so le trong bằng nhau, đồng vị bằng nhau, trong cùng phía bù nhau.
- \(a \parallel b\), \(c \perp a\) ⇒ \(c \perp b\); a, b phân biệt, \(a \parallel c\), \(b \parallel c\) ⇒ \(a \parallel b\).
- Góc gãy khúc: kẻ đường song song qua đỉnh gãy, tách góc thành hai phần.
- Chọn đúng chiều: chứng minh song song dùng dấu hiệu; tính góc dùng tính chất.
Vì sao tiên đề Euclid phải có chữ "ở ngoài"?
Nếu điểm M nằm trên a thì mọi đường thẳng qua M đều có điểm chung với a, nên không có đường thẳng nào qua M song song với a.
Kẻ tia Cm về phía nào?
Về phía làm cho tia Cm nằm giữa hai cạnh của góc cần tính. Khi đó mỗi phần của góc ở C ghép với một góc đề cho thành cặp so le trong (bằng nhau) hoặc trong cùng phía (bù nhau), và hai phần cộng lại ra góc cần tính.
Làm sao biết đề cần dấu hiệu hay tính chất?
Nhìn câu hỏi. "Chứng minh … song song": kết luận là song song, dùng dấu hiệu. "Tính góc" khi giả thiết đã có song song: dùng tính chất. Bài gãy khúc chứng minh song song thường dùng cả hai: tính chất cho phần đã biết song song, dấu hiệu cho phần còn lại.